Esta es una pregunta muy natural, incluso si es un poco subjetivo (debido a la subjetividad inherente de lo que significa "raro"). Pero la respuesta es que el axioma de elección no es la causa de la rareza.
El axioma de elección es sólo una herramienta con la que podemos demostrar que hay algunos uniforme "lío" en todo el universo de los conjuntos. Pero lo que realmente nos ayuda a frenar algunas de las extraño desorden causado sin el axioma de elección. Así que en realidad la razón por la que la gente esta pregunta (y lo hacen, a menudo) es que no están familiarizados con los desastres que pueden ocurrir sin elección.
Así que parafraseando a von Neumann, si la gente dice que el axioma de elección tiene implicaciones en contra de la intuición de que realmente no saben cómo extraño puede un universo sin opción de ser.
Primero vamos a tratar el problema obvio. El axioma de elección es una declaración general. Se afirma la existencia de algunos objetos para cada familia. La negación del axioma de elección no implica que estos objetos no existen, e incluso la negación del axioma de elección no nos dicen donde el axioma de elección falla y qué mal.
Así que es posible que el axioma de elección falla, pero cada contables de la unión de conjuntos contables es contable, y los números reales puede ser bien ordenado y su poder conjunto puede ser bien ordenado, y todo lo que alguna vez alguien se preocupaba por puede ser bien ordenado, y sólo en algún lugar en la alta estratosfera del universo de conjuntos hay algún fracaso de la elección, que afecta a nadie "abajo en la tierra". Pero por supuesto que en esta situación se puede repetir todas la elección-y argumentos para obtener todos los resultados intuitivo.
¿Qué significa esto? Esto significa que si queremos hablar de resultados intuitivo, sin elección, se podría asumir que la elección fallado en algún nivel "de interés". ¿Qué podría salir mal?
Usted no quiere Banach-Tarski? Esto significa que el de Hahn-Banach teorema de falla, y esto significa que hay un espacio de Banach sin ningún continua funcionales con la excepción de $0$.
Usted no quiere que no se pueden medir conjuntos? Esto significa que usted puede partición de los números reales estrictamente más partes de los números reales, pero en ninguna parte está vacía. Sí, dejar que el disipador por un momento: puede partición de los reales en más partes de los números!
Usted puede tener una situación en la que los números reales es una contables de la unión de conjuntos contables. No hay teoría de la medida se va por la ventana, porque la medida de Lebesgue no puede ser $\sigma$-aditivo. Usted puede salvar un poco de teoría de la medida, hablando acerca de los códigos, pero hace todo lo que un millón de veces más técnicos (como si la teoría de la medida no era técnico, para empezar).
Usted puede tener el caso de que $\Bbb N$ no es un Lindelof espacio. Sí, un contable, un espacio diferenciado no es necesariamente Lindelof. Y lo que es equivalente, resulta, que $\Bbb R$ bien podría ser no-Lindelof.
Es posible que $\Bbb Q$ tiene dos no isomorfos algebraica de los cierres. Todavía están primaria equivalente, por lo que en cierta medida es no se que de malo. Pero esto es algo a considerar cuando se quiere hablar sobre algebraica de los cierres.
La lista puede ir en y en y en. Cada vez que algo contrario a la intuición falla, se puede utilizar que la falta de algo que es muy intuitivo para celebrar. Esta es una especie de dicotomía, y es simplemente por el hecho de que los conjuntos infinitos son extraños. Esta no es la culpa de elección, es la falla de borde infinito. En realidad, esto no es culpa de nadie, es por eso que las matemáticas es tan divertido! Y esta es la razón por la que realmente se molestan en escribir pruebas, y no simplemente decir "sí, eso es razonable, vamos a continuar!"
