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Question

Evaluar$\lim_{n\to\infty}\int_0^{\frac {\pi}{3}}\frac {\sin^nx}{\sin^nx+\cos^nx}dx$

Intenté usar la sustitución$u=\frac {\pi}{2}-x$ y tal vez pensé que esta función podría ser simétrica de alguna manera y obtuve:$$\lim_{n\to\infty}\int_{\frac {\pi}{6}}^{\frac {\pi}{2}}\frac {\cos^nx}{\sin^nx+\cos^nx}dx$ $

Pero en realidad no me está ayudando ... ¿Alguna otra idea?

Answer 1

Una heurística de solución. Intercambiando el orden de la integral y límite, hemos

$$ \lim_{n\to\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^n x}{\sin^n x+\cos^n x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \lim_{n\to\infty} \frac{\sin^n x}{\sin^n x+\cos^n x} \, dx. $$

Ahora, dependiendo del tamaño relativo de $\sin x$ e $\cos x$, tenemos

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin^n x}{\sin^n x+\cos^n x} = \begin{cases} 0, & \text{if } 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \\ \frac{1}{2}, & \text{if } x = \frac{\pi}{4} \\ 1, & \text{if } \frac{\pi}{4} < x \leq \frac{\pi}{3}. \end{casos} \etiqueta{1} $$

Por lo que se deduce que el límite es de $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} dx = \frac{\pi}{12}$.

Observación. De hecho, se dio un gran salto por el supuesto de que el integral y el límite puede ser cambiado. Este hecho es posible en nuestro caso, aunque un directo justificación necesaria anticipación de resultados como el teorema de convergencia dominada.

Un análisis preliminar de nivel de solución. Arreglar cualquier suficientemente pequeño $\epsilon > 0$ y considerar la posibilidad de $a=\frac{\pi}{4}-\epsilon$ e $b = \frac{\pi}{4}+\epsilon$. Si escribimos $I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^n x}{\sin^n x+\cos^n x} \, dx$, entonces el integrando es monótona creciente en $x$ y por lo tanto

\begin{align*} I_n &\geq \int_{b}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^n x}{\sin^n x+\cos^n x} \, dx \\ &\geq \int_{b}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^n b}{\sin^n b+\cos^n b} \, dx \\ &= \left(\frac{\pi}{3}-b\right)\frac{\sin^n b}{\sin^n b+\cos^n b} \end{align*}

Esto le da

$$ \liminf_{n\to\infty} I_n \geq \lim_{n\to\infty} \left(\frac{\pi}{3}-b\right)\frac{\sin^n b}{\sin^n b+\cos^n b} = \frac{\pi}{12}-\epsilon.$$

Pero desde el lado izquierdo de la desigualdad anterior es una constante independiente de $\epsilon$, dejando $\epsilon \downarrow 0$ demuestra que $\liminf_{n\to\infty} I_n \geq \frac{\pi}{12}$. Del mismo modo,

\begin{align*} I_n &\leq \int_{0}^{a} \frac{\sin^n x}{\sin^n x+\cos^n x} \, dx + \int_{a}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^n x}{\sin^n x+\cos^n x} \, dx \\ &\geq \int_{0}^{a} \frac{\sin^n a}{\sin^n a+\cos^n a} \, dx + \int_{a}^{\frac{\pi}{3}} dx \\ &= a\frac{\sin^n a}{\sin^n b+\cos^n a} + \left(\frac{\pi}{3}-a\right) \end{align*}

y por lo tanto

$$ \limsup_{n\to\infty} I_n \leq \lim_{n\to\infty} \left[ a\frac{\sin^n a}{\sin^n b+\cos^n a} + \left(\frac{\pi}{3}-a\right) \right] = \frac{\pi}{12}+\epsilon. $$

Dejando $\epsilon \downarrow 0$, obtenemos $\limsup_{n\to\infty} I_n \leq \frac{\pi}{12}$. Estas juntas decir que

$$\liminf_{n\to\infty} I_n = \limsup_{n\to\infty} I_n = \frac{\pi}{12}$$

y por lo tanto el límite de $I_n$ existe y tiene el valor de $\frac{\pi}{12}$.

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Adenda. La siguiente muestra los gráficos de el integrando para diferentes valores de $n$.

$\hspace{5em}$

El gráfico está ya muy cerca de a $\text{(1)}$ al $n=100$, lo que proporciona una comprobación de validez.