Convertir de rotaciones de eje fijo$XYZ$ a rotaciones de Euler$ZXZ$

Question

Porque soy un usuario nuevo, no puedo publicar imágenes, hipervínculos o links, hay una versión completa con imágenes aquí:

http://stackoverflow.com/questions/9774958/converting-from-a-euler-zxz-rotation-to-fixed-axis-xyz-rotations

El problema que tengo, es que necesito para convertir de $XYZ$ eje fijo de rotación, a Euler rotaciones $Z$,, a continuación,$X'$,, a continuación,$Z''$.

Aquí los matricies:

$$X = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{matrix}\right)$$

$$Y = \left(\begin{matrix} \cos(\phi) & 0 & \sin(\phi) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin(\phi) & 0 & \cos(\phi)\end{matrix}\right)$$

$$Z = \left(\begin{matrix} \cos(\psi) & -\sin(\psi) & 0 \\ \sin(\psi) & \cos(\psi) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right)$$

Combined, as $R_z(\psi) R_y(\phi) R_x(\theta) = R_{xyz}(\theta,\phi\psi)$; they give:

$R_{xyz}$: i.imgur.com/8UQM6.jpg

And the Rotation matrix for the Specific convention of Euler angles I want; is this:

Euler:

So my initial plan, was to compare matrix elements, and extract the angles I wanted that way; I came up with this (actual current code at the end):

But this doesn't work under several circumstances. The most obvious being when $\cos(\theta)\cos(\phi) = 1$; since then $\cos(\beta) = 1$, and so $\sin(\beta) = 0$. Where $\sin(\beta)$ is s2 in the code. This happens only when $\cos(\theta)$ and $\cos(\phi) = \pm 1$.

So right away I can just rule out the possible situations;

When $\theta$ or $\phi = 0, 180, 360, 540, \ldots$, then $\cos(\theta)$, and $\cos(\phi)$ are $\pm 1$;

so I only need to do it differently for these cases;

And I ended up with this code:

public static double[] ZXZtoEuler(double θ, double φ, double ψ){

    θ *= Math.PI/180.0;
    φ *= Math.PI/180.0;
    ψ *= Math.PI/180.0;

    double α = -1;
    double β = -1;
    double γ = -1;

    double c2 = Math.cos(θ) * Math.cos(φ);

    β = Math.acos(r(c2));

    if(eq(c2,1) || eq(c2,-1)){
        if(eq(Math.cos(θ),1)){
            if(eq(Math.cos(φ),1)){
                α = 0.0;
                γ = ψ;
            }else if(eq(Math.cos(φ),-1)){
                α = 0.0;
                γ = Math.PI - ψ;
            }
        }else if(eq(Math.cos(θ),-1)){
            if(eq(Math.cos(φ),1)){
                α = 0.0;
                γ = -ψ;
            }else if(eq(Math.cos(φ),-1)){
                α = 0.0;
                γ = ψ + Math.PI;
            }
        }
    }else{

        //original way

        double s2 = Math.sin(β);

        double c3 = ( Math.sin(θ) * Math.cos(φ) )/ s2;
        double s1 = ( Math.sin(θ) * Math.sin(ψ) + Math.cos(θ) * Math.sin(φ) * Math.cos(ψ) )/s2;

        γ = Math.acos(r(c3));
        α = Math.asin(r(s1));

    }

    α *= 180/Math.PI;
    β *= 180/Math.PI;
    γ *= 180/Math.PI;

    return new double[] {r(α), r(β), r(γ)};
}

Where r and eq are just two simple functions;

public static double r(double a){
    double prec = 1000000000.0;
    return Math.round(a*prec)/prec;
}

static double thresh = 1E-4;
public static boolean eq(double a, double b){
    return (Math.abs(a-b) < thresh);
}

eq is just to compare the numbers for tests, and r is to prevent floating point errors pushing numbers outside the range of Math.acos / Math.asin and giving me NaN results;

(i.e. every now and then I'd end up with Math.acos(1.000000000000000004) or something.)

Which takes into account the 4 cases of having rotations around $x$ and $s$ which leave c2==1.

But now is where the problem occurs;

Everything I have done above, makes sense to me, but it does not give the correct angles;

Here is some output, in each pair, the first are the $\theta, \phi \psi$ angles, and the second of each pair is the corresponding $\alpha, \beta \gamma$ líneas. Ignorando los errores de redondeo, se parece conseguir algunos de los ángulos de aproximadamente

[0.0, 0.0, 0.0] - correcto! [0.0, 0.0, 0.0]

[0.0, 0.0, 45.0] - correcto! [0.0, 0.0, 45.0]

[0.0, 0.0, 90.0] - correcto! [0.0, 0.0, 90.0]

[0.0, 0.0, 135.0] - correcto! [0.0, 0.0, 135.0]

[0.0, 0.0, 180.0] - correcto [0.0, 0.0, 180.0]

[0.0, 0.0, 225.0] - correcto [0.0, 0.0, 225.0]

[0.0, 0.0, 270.0] - correcto [0.0, 0.0, 270.0]

[0.0, 0.0, 315.0] - correcto [0.0, 0.0, 315.0]

[0.0, 45.0, 0.0] - incorrecto: debe ser [90, 45, -90] [90.0, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 45.0] [45.000018, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 90.0] [0.0, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 135.0] [-45.000018, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 180.0] [-90.0, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 225.0] [-45.000018, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 270.0] [0.0, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 315.0] [45.000018, 44.999982, 90.0]

[0.0, 90.0, 0.0] [90.0, 90.0, 90.0]

[0.0, 90.0, 45.0] [45.000018, 90.0, 90.0]

[0.0, 90.0, 90.0] [0.0, 90.0, 90.0]

[0.0, 90.0, 135.0] [-45.000018, 90.0, 90.0]

[0.0, 90.0, 180.0] [-90.0, 90.0, 90.0]

[0.0, 90.0, 225.0] [-45.000018, 90.0, 90.0]

¿Alguien puede pensar en una solución?

EDIT: no sé si esto ayuda, pero hay algunas otras maneras de mirar en estas rotaciones:

Una forma de rotar alrededor de un eje arbitrario, es reorientar que el eje de la Z Eje y, a continuación, hacer la inversa de la reorientación; se puede aplicar una y otra, para obtener las rotaciones de Euler en términos de la original eje fijo rotaciones;

$$R_{Z^{\prime\prime} X^{\prime} Z}(\alpha,\beta,\gamma) = R_{Z^{\prime\prime}}(\gamma)R_{X^{\prime}}(\beta)R_Z(\alpha)$$

$$R_{X^{\prime}}(\beta) = R_Z(\alpha)R_Y(\frac{\pi}{2})R_Z(\beta)R_Y(-\frac{\pi}{2})R_Z(-\alpha)$$

so

$$R_{X^{\prime}}(\beta)R_Z(\alpha) = R_Z(\alpha)R_Y(\frac{\pi}{2})R_Z(\beta)R_Y(-\frac{\pi}{2})$$

$$R_{Z^{\prime\prime}} = R_Z(\alpha)R_Y(\frac{\pi}{2})R_Z(\beta)R_Y(-\frac{\pi}{2})R_Z(\gamma)R_Y(\frac{\pi}{2})R_Z(-\beta)R_Y(-\frac{\pi}{2})R_Z(-\alpha)$$

And so the whole thing;

$$R_{Z^{\prime\prime}}(\gamma)R_{X^{\prime}}(\beta)R_Z(\alpha) = R_Z(\alpha)R_Y(\frac{\pi}{2})R_Z(\beta)R_Y(-\frac{\pi}{2})R_Z(\gamma)R_Y(\frac{\pi}{2})R_Z(-\beta)R_Y(-\frac{\pi}{2})R_Z(-\alpha)R_Z(\alpha)R_Y(\frac{\pi}{2})R_Z(\beta)R_Y(-\frac{\pi}{2})$$

Which cancels down;

$$R_{Z^{\prime\prime}}(\gamma)R_{X^{\prime}}(\beta)R_Z(\alpha) = R_Z(\alpha)R_Y(\frac{\pi}{2})R_Z(\beta)R_Y(-\frac{\pi}{2})R_Z(\gamma)R_Y(\frac{\pi}{2})R_Z(-\beta)\mathbf{R_Y(-\frac{\pi}{2})R_Y(\frac{\pi}{2})}R_Z(\beta)R_Y(-\frac{\pi}{2})$$

$$R_{Z^{\prime\prime}}(\gamma)R_{X^{\prime}}(\beta)R_Z(\alpha) = R_Z(\alpha)R_Y(\frac{\pi}{2})R_Z(\beta)R_Y(-\frac{\pi}{2})R_Z(\gamma)R_Y(\frac{\pi}{2})\mathbf{R_Z(-\beta)R_Z(\beta)}R_Y(-\frac{\pi}{2})$$

$$R_{Z^{\prime\prime}}(\gamma)R_{X^{\prime}}(\beta)R_Z(\alpha) = R_Z(\alpha)R_Y(\frac{\pi}{2})R_Z(\beta)R_Y(-\frac{\pi}{2})R_Z(\gamma)\mathbf{R_Y(\frac{\pi}{2})R_Y(-\frac{\pi}{2})}$$

$$R_{Z^{\prime\prime}}(\gamma)R_{X^{\prime}}(\beta)R_Z(\alpha) = R_Z(\alpha)R_Y(\frac{\pi}{2})R_Z(\beta)R_Y(-\frac{\pi}{2})R_Z(\gamma)$$

Y tenga en cuenta que $$R_Y(\frac{\pi}{2})R_Z(\beta)R_Y(-\frac{\pi}{2}) = R_X(\beta)$$

así tenemos $$R_{Z^{\prime\prime}}(\gamma)R_{X^{\prime}}(\beta)R_Z(\alpha) = R_Z(\alpha)R_X(\beta)R_Z(\gamma)$$

Ahora no estoy seguro de lo mucho que esto podría ayudar... pero es algo, supongo...

Answer 1

Este documento describe exactamente lo que usted necesita.

Leer esto, y luego esto.

Entonces, si usted lee un poco más, vas a encontrar esto:

Aquí hay algunos EulerAngles Código, que se puede tener un vistazo a...

esta búsqueda de google también da un montón de otras soluciones a su problema.

En realidad se puede utilizar estos métodos para recuperar la rotación regular de los ángulos demasiado, como la construcción de la matriz de rotación es trivial, y sólo es necesario invertir el orden de las rotaciones de euler para obtener el regular el ángulo de rotación.

(donde regulares y euler, sólo quiero decir intrínsecos y extrínsecos)

EDIT: solo di cuenta de que me respondió a mi pregunta por accidente...