Conexión entre la noción categórica de adjunción y espacio dual / adjunto en espacios vectoriales

Question

Soy un economista, no un matemático. He estado tratando de hacer sentido de algunos de los conceptos en el análisis funcional: el doble, el bidual, adjunto, natural de asignación. Las definiciones de estos conceptos vienen de la nada y no veo la intuición. Pensé que debo leer categoría de la teoría para ver la imagen en grande.

Bueno, he leído un poco de la categoría de la teoría, pero soy incapaz de ver la conexión entre la categórica noción de contigüidad y de doble espacios/adjoints en espacios vectoriales. En particular:

• En el contexto de la categoría de espacios vectoriales sobre algún campo F, ¿cuáles son los dos functors y los dos transposición de las asignaciones que forman parte de la definición de contigüidad en la categoría de teoría? ¿Cuáles son la unidad y la co-unidad?

• Supuestamente, adjunctions en la categoría de la teoría que nos permite comparar un objeto de una categoría a un objeto de otra categoría? Pero, en espacios vectoriales, el origen y el destino de las categorías de la categoría de espacios vectoriales sobre F (derecha?). Así que, ¿por qué necesitamos una contigüidad?

• De acuerdo a Wikipedia, adjunctions proporcionar una manera de encontrar una solución universal para un diagrama (si estoy leyendo correctamente). En el contexto de los espacios vectoriales, espacios de doble/adjoints nos permiten encontrar lo universal de la solución en el diagrama?

También, puede alguien recomendar leer más acerca de esto. Todas las cosas que he leído en la categoría de teoría no dice mucho acerca de adjunctions en espacios vectoriales.

Muchas gracias!

Answer 1

Un functor $F : C \to D$ se llama izquierda adjunto a un functor $G : D \to C$ si no son naturales bijections $\hom(F(X),Y) \cong \hom(X,G(Y))$ donde $X \in C, Y \in D$.

Hay una descripción equivalente (que se desprende directamente de la Yoneda Lema): No son naturales transformaciones $\eta : \mathrm{id}_C \to GF$ (unidad) y $\varepsilon : FG \to \mathrm{id}_D$ (counit) que son "inversa" a cada uno de los otros en el sentido de que el triángulo de las identidades están satisfechos (ver Wikipedia por ejemplo).

Ahora, considere la categoría de $C=D=\mathsf{Vect}$ de espacios vectoriales sobre un campo fijo $K$. Deje $V$ ser finito-dimensional espacio vectorial. Deje $V^*$ ser su espacio dual. A continuación, el functor $V \otimes -$ que queda adjunto a la functor $V^* \otimes -$. El counit es inducida por la usual de evaluación mapa $V \otimes V^* \to K$, $v \otimes \omega \mapsto \omega(v)$. La unidad es inducida por el mapa $K \to V^* \otimes V$ que envía a $1 \in K$ a $\sum_i v_i^* \otimes v_i$ donde $(v_i)$ es una base de $V$ e $(v_i^*)$ es su base dual. Por el camino, uno puede mostrar que si $V$ es un espacio vectorial, entonces $V \otimes -$ tiene un adjunto a la izquierda si y sólo si $V$ es finito-dimensional. Esto proporciona una categoría de la teoría de la caracterización de finito-dimensionalidad y duales de espacios vectoriales. (Y la historia no termina aquí.)

Las nociones de adjoint operadores y adjoint functors coinciden por $\mathsf{Hilb}$enriquecido categorías. Véase J. Báez, de Dimensiones Superiores, Álgebra II, arXiv.

Answer 2

Demasiado tiempo para hacer comentarios, pero probablemente se aborda el fondo del problema de OP.

Se aproxima la dualidad en el análisis funcional de la categoría teórica punto de vista es una idea terrible en el principio. Cuando un analista funcional habla de, por ejemplo, el adjunto del operador, que no está realmente hablando sobre el functor adjunto entre algunas categorías, pero en lugar de la simple pull-back mapa.

Un casual de la muestra de bonita y de hormigón de la dualidad de los resultados que puede, y debe, ser vistos sin la perspectiva categórica:

1. La representación de Riesz teorema de Hilbert espacios.

2. La representación de Riesz teorema de lineal positiva funcionales en $C_0(X)$ donde $X$ es LCH. En vista de esto, el de von Neumann-Morgenstern utilidad esperada es la vinculación entre el doble y el doble doble.

3. El Hanh-Banach teorema de los espacios de Banach. (Un corolario es la hyperplane teorema de separación. Los economistas de la cita todo el tiempo, generalmente innecesariamente para espacios de Hilbert. )

4. El Banach-Alaoglu teorema. Esto dice que la unidad de la bola en el dual es débil-$^*$ compacto. Una consecuencia de esto es que una cadena de Markov, donde el espacio de estado no es necesariamente finito, tiene una distribución estacionaria--- - una de infinitas dimensiones Perron-Frobenius teorema, si te gusta. En algunos modelos macroeconómicos, esto significa que la economía tiene un estado estacionario.

5. El Krein-Milman teorema. (No se trata de la doble a priori, pero las aplicaciones suelen hacer uso de débil-* compacidad dada por Banach-Alaoglu.)

6. El Choquet representación teorema: el valor de una afín mapa de $\phi$ a un punto de $x$ en un conjunto convexo $C$ está dado por una integral $\int_{\delta C} \phi dp_x$ para una cierta probabilidad de medida $p_x$ sobre el límite de $\delta C$ de %de$C$.

7. No es un teorema, sino una identificación particular: $(l^1)^* = l^{\infty}$ e $(l^{\infty})^* = c_0$. Este es un ejemplo de no-reflexividad de infinitas dimensiones de los espacios. En General el bienestar de los teoremas suelen tomar a $l^{\infty}$ como el espacio de los precios y $l^1$ el espacio de paquetes.

8. El Gelfand-Naimark teorema de abelian $C^*$-álgebras. Después de linealización, la Pontryagin doble se convierte en parte de la unidad de la esfera en la TV dual. La resultante de doble mapa generaliza la transformada de Fourier.

Se Ha Agregado La Referencia

El Manual de Economía Matemática de la serie, editado por la Flecha. En particular, el volumen 4 es el análisis funcional-céntrica. Por ejemplo, el capítulo 34 de Equilibrio de la teoría de espacios de infinitas dimensiones utiliza la dualidad como un analista funcional sería: débil-la topología débil-$^*$ topología, la topología de Mackey, Riesz espacios, etc.

Answer 3

La dualidad contigüidad que usted se refiere, se explica en detalle en MacLane del CWM 2ª ed. página 88. Es una contigüidad entre el $Vect$ e $Vect^{op}$.

La declaración:"adjunctions en la categoría de la teoría que nos permite comparar un objeto de una categoría a un objeto de otra categoría" debe ser tomado como una indicación general.

Más bien diría:"adjunctions en la categoría teoría nos permiten relacionar un objeto de una categoría a un objeto de otra categoría".

También me gusta pensar que la contigüidad es una relación entre 2 functors. El 2 functors son una especie de "pseudo-inversos" de cada uno de los otros. Qué hacer con un functor, puede más o menos deshacer con el otro.