Supongamos $\nabla$ es la de Levi-Civita de conexión a colector de Riemann $M$. $X$ ser un vector de campos en la $M$ definido por $X=\nabla r$ donde $r$ es la función de distancia a un punto fijo en $M$. $\{e_1, \cdots, e_n\}$ ser local orthnormal marco de los campos. Queremos calcular el $(|\nabla r|^2)_{kk}=\nabla_{e_k}\nabla_{e_k}|\nabla r|^2$. Deje $$\nabla r=\sum r_i e_i$$ por lo $r_i=\nabla_{e_i}r$.
El estándar de cálculo para el tensor de la producción: $$(|X|^2)_{kk}=(\sum r_i^2)_{kk}\\ =2(\sum r_i r_{ik})_{k} \\ =2\sum r_{ik}r_{ik}+2\sum r_i r_{ikk} $$ Mi pregunta es, cómo cambiar el orden de las derivadas parciales $r_{ikk}$ a $r_{kki}$. Sé que algunos de curvatura términos apear, pero estoy muy confundido por este cálculo.
Mi principal preocupación es $r_i$ debe ser la función, cuando cambio las derivadas parciales de la Mentira de soporte aparecerán, cómo es que la curvatura término se encuentra?
Alguien me puede ayudar con esta cálculos básicos?
