La derivada como transformación lineal

Question

Tengo problemas para pensar en la derivada como una transformación lineal.

He aquí un ejemplo que se me ocurrió para tratar de entenderlo mejor.

Dejemos que $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ se define por $f(x,y) = (x+y,xy,x^2-y^2)$

Entonces la derivada de $f$ en $\vec{x_0} = \left[\matrix{ x_0 \cr y_0 \cr }\right]$ está dada por: $f'_\vec{x_0} = \left[\begin{array}{*{20}{c}} {1}&{1}\\ {y_0}&{x_0}\\ {2x_0}&{-2y_0}\\ \end{array}\right] $

Esto significa que $f'_\vec{x_0}$ es la transformación lineal que toma un vector $\vec{v} \in \mathbb{R}^2$ y lo envía a $f'_\vec{x_0}\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ .

Estas son mis preguntas:

¿Cómo interpretar la derivada en dimensiones superiores? En una dimensión podemos pensar en la derivada como la pendiente de una recta tangente. ¿Existe una noción similar para dimensiones superiores? Estoy mirando la matriz anterior y tratando de darle algún significado, pero no se me ocurre nada.

¿Qué hace $f'_\vec{x_0}\vec{v}$ representar? ¿Es sólo la derivada de $f$ en $\vec{x_0}$ en dirección a $\vec{v}$ ? ¿Los componentes de este vector representan la velocidad $f$ ¿se está modificando a lo largo de cada eje?

Answer 1

La derivada (si existe) es la mejor local aproximación lineal en el siguiente sentido $$f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)(h)+o(h),$$ o de forma equivalente, $$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-(f(x_0)+f'(x_0)(h))}{\|h\|}=0.$$ Es decir $f(x_0+h)-(f(x_0)+f'(x_0)(h))$ (función - aproximación) es muy pequeña. Tan pequeño que incluso dividido por otra cosa pequeña $\to 0$ .

Answer 2

¿Conoce el concepto de curva? Una curva es una función $g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R^3, t \mapsto g(t)$ . Como el parámetro $t$ recorre $\mathbb R$ los puntos $g(t)$ recorren los puntos de la curva en $\mathbb R^3$ . Con este concepto, puedes describir todo tipo de curvas: líneas, círculos, espirales, etc.

Utilizando la visualización descrita anteriormente (como $t$ funciona continuamente desde $-\infty$ a $+\infty$ , $g(t)$ traza la curva en el espacio 3), es "intuitivamente claro" :-) que $g'(t_0)$ es el vector tangente a la curva en el punto $g(t_0)$ .

Podemos hacer lo mismo con su mapa $f$ . Si $f$ se comporta bien, entonces $M := f(\mathbb R^2) \subseteq \mathbb R^3$ es una especie de superficie en el espacio, como una esfera, o un trozo de ella. Si fijamos una $x \in \mathbb R^2$ y un $v \in \mathbb R^2$ entonces la función $g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R^3, t \mapsto f(x + tv)$ es una curva en el espacio 3, y por construcción, esta curva corre completamente dentro de $M$ .

Ahora, utilizando la regla de la cadena, encontramos $g'(t) = f'(x+tv)v$ y en particular $g'(0) = f'(x)v$ . Así que vemos que $f'(x)v$ es la tangente de una curva en $M$ a través de $f(x) \in M$ . Todas esas curvas forman el plano tangente en $M$ en $f(x)$ . Más concretamente, podemos escribir este plano tangente como $P := f(x) + f'(x)\mathbb R^2 \subseteq \mathbb R^3$ . Por favor, convénzase de que el conjunto $P$ es un plano afín en el espacio 3.

Así que, en cierto sentido, $f'(x)$ es el pendiente del plano tangente en $M$ a través del punto $f(x)$ . Con algo más de maquinaria analítica, es posible formalizar mucho mejor esta analogía con el caso unidimensional.

Otro ejemplo instructivo es $h:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^3, (u,v) \mapsto (u, v, \sin(u) + \cos(v))$ .