Polinomio mínimo de$\sqrt{\sqrt[3]{7}-5}$

Question

Estoy tratando de encontrar el polinomio mínimo de $\alpha = \sqrt{\sqrt[3]{7}-5}$. Más bien, yo sé que va a ser $p(x) = x^6 +15x^4+75x^2+118$ por acaba de cuadrar y, a continuación, cubicación de manera adecuada, pero me gustaría comprobar que este es el polinomio mínimo.

El método habitual que uso, si por ejemplo, tenemos una raíz cuadrada en el interior de la raíz cuadrada) es verificar que $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=6$ señalando que $$\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt[3]{7}) \subset \mathbb{Q}(\alpha)$$ y, a continuación, mostrando que $\sqrt[3]{7} - 5$ no es un cuadrado dentro de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{7})$. Pero no puedo obtener el método habitual de suponer que es un cuadrado y luego de llegar a una contradicción para el trabajo. I. e. escrito $\sqrt[3]{7} - 5 = (a + b \sqrt[3]{7})^2$ y la conjugación con $-\sqrt[3]{7} - 5 = (a - b \sqrt[3]{7})^2$ y, a continuación, multiplicando los dos no nos ayuda (porque tenemos un cubo de raíz en lugar de una raíz cuadrada). Así que mi pregunta es si hay una manera sencilla de hacer este tipo de preguntas cuando tenemos una raíz cúbica en el interior de la raíz principal?

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También, como una pregunta, me gustaría preguntarle si realmente tenemos que decir $p(x)$, es un polinomio mínimo de $\theta$ sobre $K$ un campo es equivalente a $p(\theta)=0$ e $p(x)$ es irreducible? O esto no es suficiente para minimality? Hacer, hemos de mostrar que el grado es mínima? Así que si se podía demostrar que $p(x)$ en la pregunta anterior es irreductible, que sería suficiente para demostrar que el polinomio mínimo o todavía tenemos que hacer algunas cosas para el grado?

Muchas gracias por la ayuda.

Answer 1

$\sqrt[3]7-5<0$ asi que $\Bbb Q(\sqrt{\sqrt[3]7-5})\not\subseteq\Bbb R$. Por lo tanto $|\Bbb Q(\sqrt{\sqrt[3]7-5}):\Bbb Q(\sqrt[3]7)|=2$

Answer 2

Poner$x^2=z$ la única raíz real,$z_0$, de$z^3+15z^2+75z+118=0$ es$z_0\approx-3.0871$ para$x^2\lt0$. En consecuencia, $$x^6 +15x^4+75x^2+118=(x^2-z_0)(x^2-(a+bi))(x^2-(a-bi))\quad a,b\in\mathbb R$$ This is sufficient to show that your $p (x)$ is irreducible over $\ mathbb Q$.