Distribución de muestreo de$Y = \frac{\ln U_1}{\ln U_1 + \ln (1 - U_2)}$, donde$U_i \sim U(0,1), \forall i$

Question

Para este problema he usado el hecho,$-2 \ln U \sim \chi^2_{(2)}$. Pero tengo dudas sobre la independencia del numerador y el denominador que son$\ln U_1$ y$\ln U_1 + \ln (1 - U_2)$. Si son independientes, entonces la estadística resultante se reduce a$F_{2,4}$ estadística. Por favor ayuda.

Answer 1

Tal vez podrías intentar ver la distribución de$1/Y$ en su lugar. Entonces, $1/Y=-2\ln(1-U_{2})/(-2\ln(U_{1}))+1$. Entonces el numerador y el denominador serían variables aleatorias distribuidas chi-cuadrado independientes.

Answer 2

Establecer$X_1 \equiv - \log(U_1)$ y$X_2 \equiv - \log(1 - U_2)$. Dado que$X_1$ y$X_2$ son variables aleatorias exponenciales independientes$(\lambda = 1)$ entonces para$t \in (0, 1)$ \begin{align} P(X_1 / (X_1 + X_2) \leq t) &= P(X_1 + X_2 \geq X_1 / t) \\ &= P(X_2 \geq X_1 (1 / t - 1)) \\ &= \text{E} \left [ P(X_2 \geq X_1 (1 / t - 1) \mid X_1) \right ] \\ &= \text{E} \left ( e^{-X_1 (1 / t - 1)} \right ) \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-s (1 / t - 1)} e^{-s} ds \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-s / t} ds \\ &= t \end {align} que es la función de distribución uniforme$(0, 1)$.