Demostrar que $a^3+b^3=10^5$ no tiene ninguna solución entera positiva.

Question

Demuestra que no existen dos enteros positivos, $a$ y $b$ , de tal manera que $$a^3+b^3=100\,000$$

Intenté usar el módulo de congruencia $7$ y algún otro módulo, pero no parece funcionar. Si es posible, por favor demuéstralo con congruencias modulares.

Answer 1

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$ Así que si $a^3+b^3=10^5$ los únicos factores primos posibles de $a^2-ab+b^2$ son $p=2$ y $p=5$ .

La forma cuadrática $x^2-xy+y^2$ es irreducible módulo $2$ y modulo $5$ por lo que si $2\mid(a^2-ab+b^2)$ entonces $2\mid a$ y $2\mid b$ . Asimismo, si $5\mid(a^2-ab+b^2)$ entonces $5\mid a$ y $5\mid b$ . Si $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=10^5$$ entonces $(a,b)=(ra',rb')$ donde $r^2\mid 10^5$ y $a'^2-a'b'+b'^2=1$ . Como $a$ y $b$ son positivos, esto significa que $a'=b'=1$ . Por lo tanto, $a=b=r$ , y $a^3+b^3=2r^3\ne10^5$ .

Este argumento descarta $a^3+b^3$ igualando cualquier poder de $10$ para $a$ , $b$ enteros $>0$ .

Answer 2

El enfoque más sencillo es suponer $a \ge b$ y observe que $a \lt 100000^{1/3} \lt 47$ . Ahora haz una hoja de cálculo y revísalos todos.

Si no, yo tendría en cuenta $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)((a+b)^2-3ab)$ Ahora $a+b \ge 47$ , divide $100000$ y no puede ser tan grande como $100$ por lo que sólo puede ser $50$ o $80$

Answer 3

Los posibles residuos cúbicos módulo $19$ son:

$$1,7,8,11,12,18$$

Además, $100000\equiv 3\pmod{19}$

Los únicos dos residuos cuya suma es equivalente a $3$ sería $11$ y $11$ .

Esto implica que tanto $a$ y $b$ son uno de $5\pmod{19},16\pmod{19}$ y $17\pmod{19}$

Supongamos además que $a\geq b$ . Esto implica que $a^3\geq 50000$ y $b^3\leq 50000$

Desde $(16+2\cdot 19)^3>100000$ y como $(17+19)^3<50000$ Esto implicaría que $a^3=(5+2\cdot 19)^3=79507$ ya que es el único cubo de un número de una de esas clases de equivalencia en el rango deseado, pero entonces $b^3=100000-79507=20493$ no es un cubo perfecto. Por lo tanto, no existen soluciones.