¿Podemos aproximar cualquier valor propio de una matriz infinita a través de valores propios de alguna secuencia de submatrices que se aproxima a la matriz?

Question

Deje $T:\ell^2\to\ell^2$ ser un compacto lineal operador. Deje $[T]=(a_{i,j})_{i,j=1}^{\infty}$ ser la representación infinita de la matriz de $T$ con respecto a la base canónica. Deje $T_n$ ser finito rango operador definido por la matriz $(a_{i,j})_{i,j=1}^{n}$ incrustado en un infinito de la matriz. Por lo tanto $T_n\to T$ en la norma.

Podemos aproximar los valores de $T$ con valores propios de $T_n$?

Answer 1

Esta no es una respuesta completa, pero tal vez una idea o un duro plan de trabajo sobre cómo abordar este problema, y también es demasiado largo para un comentario).

Primero consideremos $T\in\mathcal K(\ell_2)$ (compacto lineal operador en $\ell_2$) donde $T$ es triangular, es decir, existe una base ortonormales $(g_n)_{n\in\mathbb N}$ de $\ell_2$ tales que el infinito de la matriz $T_g:=(\langle g_j,Tg_k\rangle)_{j,k\in\mathbb N}$ es superior o inferior triangular. Para un operador, se sabe que el cero no autovalores de $T$ son exactamente las entradas de la diagonal de $T_g$. Más precisamente, $$ \sigma(T)\setminus\lbrace 0\rbrace = \lbrace \langle g_j,Tg_j\rangle\,|\,j\in\mathbb N\rbrace\setminus\lbrace 0\rbrace $$ consulte Teorema A. 7 en este documento (o Thm.4.2 en los respectivos arXiv-versión). W. l.o.g. deje $T$ ser triangular superior. Ahora bien, si uno define $$ T_{g,n}=\sum\nolimits_{a,b=1}^n\langle g_a,Tg_b\rangle\langle g_b,\cdot\rangle g_a=\begin{pmatrix} \langle g_1,Tg_1\rangle&\cdots&\cdots&\langle g_1,Tg_n\rangle\\0 &\ddots&&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&\langle g_n,Tg_n\rangle\end{pmatrix}\oplus 0 $$ como el incorporado superior izquierda de la $n\times n$ bloque de $T$ w.r.t. la base en la que $T$ es triangular, entonces, evidentemente, los valores de $T_{g,n}$ convergen a los valores propios de $T$ en el sentido de que el autovalor secuencia $\lambda_{g,n}$ (de $T_{g,n}$) converge al valor propio de la secuencia de $\lambda$ (de $T$) en el $\ell^\infty$-norma.

Problema 1. Hace esta declaración todavía se mantienen para triangular $T\in\mathcal K(\ell_2)$ si $T_{g,n}$ es reemplazado por el bloque de aproximación $T_{f,n}$ con respecto a un arbitrario base ortonormales $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ de $\ell_2$?

A diferencia de dimensiones finitas, no hay Schur triangulación para arbitrario operadores en caso de que el subyacente espacio de Hilbert es infinito-dimensional (no incluso para operadores compactos). Sin embargo, todavía se tiene el siguiente resultado similar, cf. Lema 16.28 en "Introducción al Análisis Funcional" por Meise & Vogt (1997):

Para $T\in\mathcal K(\ell_2)$ existe una descomposición ortogonal $\ell_2=\mathcal H_0\oplus \mathcal H_1$ y una base ortonormales $(g_j)_{j\in M}$ de $\mathcal H_0$ (donde $M$ puede ser finito o infinito, y corresponde a la no-cero autovalores de $T$) tal que, en términos generales,a $$ T=\begin{pmatrix} T_{0,0}&T_{0,1}\\0&T_{1,1}\end{pmatrix}\,. $$ Aquí, $T_{0,0}$ es triangular superior w.r.t. $(g_j)_{j\in M}$ e $\sigma(T_{1,1})=\lbrace 0\rbrace$.

Problema 2. Es esta construcción / esta idea suficiente para extender el resultado anterior para arbitrario compacto operadores ("existe una base ortonormales de $\ell_2$ tal que el autovalor de la secuencia de ...")?

Esto podría reducirse a la pregunta sobre si y cómo se puede controlar el autovalores cuando se toma a los bloques de la Volterra parte $T_{1,1}$ de $T$. Similar al Problema 1, la siguiente pregunta que surge de forma natural:

Problema 3. Si el Problema 2 tiene una respuesta positiva, hace que mantener para cualquier ortonormales base de $\ell_2$?