¿Cuál es la diferencia entre mínimo e ínfimo?

Question

¿Cuál es la diferencia entre mínimo e ínfimo?

Tengo una gran confusión al respecto.

Answer 1

El mínimo se alcanza, el ínfimo no necesariamente.

Ejemplo.

Sea $f(x) = \frac{1}{x}$. Entonces $f$ no tiene valor mínimo en el intervalo $(0, \infty)$. El mínimo es el elemento más pequeño en el conjunto. Es decir, $$ \min\{f(x) \mid x \in (0, \infty)\} $$ no existe porque no hay un número más pequeño en el conjunto.

Otro ejemplo es el mínimo del conjunto $S = (0,1) = \{x \mid 0 < x < 1\}$. Aquí nuevamente no hay un número más pequeño $$ \min\{x \mid 0 < x < 1\} $$ no existe.

El ínfimo de un conjunto $S$ se define como el número más grande que es menor o igual a todos los elementos de S (de Wikipedia). El ínfimo a veces también se llama la cota inferior más grande.

Es un hecho que todo conjunto no vacío (acotado por debajo) de números reales tiene un ínfimo. Pero, como vimos, no todos los conjuntos reales tienen un mínimo.

Entonces en el ejemplo $$ \inf\{f(x) \mid x \in (0, \infty)\} = 0. $$

Observa que el ínfimo y el mínimo pueden ser iguales. Considera por ejemplo $S = \{1,2,3, \dots\}$. Luego el ínfimo y el mínimo son ambos $1$.

Considera este otro ejemplo. Si $f$ es una función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$, entonces es un hecho que $f$ alcanza un mínimo en ese intervalo. Entonces aquí de nuevo $$ \inf\{f(x) \mid x \in [a,b]\} = \min\{f(x) \mid x \in [a,b]\}. $$

Answer 2

El mínimo se alcanza, el ínfimo (puede) no. Es decir, los números de la forma $1/n$ tienen un ínf (es decir, 0), mientras que los números naturales tienen un mín (es decir, 1).