¿Es verdadera la desigualdad de Young sin el supuesto de continuidad?

Question

Si $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función estrictamente creciente, $f(0) =0$ , $a>0$ y $b>0$ , entonces $\int^a_0 f+ \int^b_0 f^{−1} ≥ ab$ . ¿Es esto cierto sin continuidad asumida?

Answer 1

Aquí hay una posible generalización. Si $f$ es de derecha continua en $[0,\infty)$ e $\lim_{x\to\infty}=\infty$, luego $$ \bbox[barba de maíz,5px] { \int_0^a f(x)\,dx + \int_0^b f^{-}(y)\,dy\ge ab } $$ para todos los $a,b\ge 0$, donde $$ f^{-}(y):=\sup\{x\ge 0:f(x)\le y\} $$ es la inversa generalizada de $f$.

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Para ver esto, definir \begin{align} A&:=\{(x,y):x\in[0,a],y\in[0,b]\},\\[5pt] B&:=\{(x,y):x\in[0,a],y\in[0,f(x)]\},\\[5pt] C&:=\{(x,y):y\in[0,b],x\in[0,f^{-}(y)]\}. \end{align} Entonces, desde el $A\subseteq B\cup C$, $$ m(A)\le m(B)+m(C), $$ donde $m$ es el Lebesque medida en $\mathbb{R}^2$ (tenga en cuenta que $A, B$, e $C$ son conjuntos medibles).