¿Cuál es un ejemplo de Límite Débil que no es Límite

Question

Me preguntaba si hay un ejemplo estándar de límite débil que no sea un límite (en el sentido categórico). He estado pensando en el problema, y parece que los límites débiles son límites la mayoría de las veces, así que me preguntaba si existe un ejemplo sencillo.

Cualquier ejemplo se disfruta mucho.

Answer 1

Tengo que admitir que no tenía ni idea previamente de débil límites, pero gracias a nLab límites débiles quizás podamos entender el siguiente ejemplo: cada no vacío (alias habitada ) es un límite débil (es decir, un débil objeto final) en la categoría de conjuntos. Pero sólo los conjuntos con un solo elemento son objetos finales; es decir, verdadero límites.

¿Por qué? Porque, dado cualquier conjunto no vacío $S$ siempre hay un mapa $f: A \longrightarrow S$ de cualquier otro conjunto $A$ (elija cualquier elemento $s\in S$ y enviar todos los elementos en $A$ a $s$ por ejemplo). Pero el mapa $f$ es único sólo cuando $S$ tiene un solo elemento, obviamente.

(¡Ja! Son divertidos esos límites débiles. :-D )

Answer 2

En topología algebraica un par cofibrado $(X,A)$ a menudo se define por medio de un débil empuje:

$\begin{array}{ccc} A\times\left\{ 0\right\} & \rightarrow & X\times\left\{ 0\right\} \\ \downarrow & & \downarrow\\ A\times\mathbb{I} & \rightarrow & X\times\mathbb{I}\end{array}$

Mirando débil límites como objetos de una categoría se termina con los límites como objetos terminales. Si miramos a la vez débil colimits como objetos se termina con los colimits como objetos iniciales.