¿Cómo calculo la acción de monodromía de rotar tres pinchazos de$\mathbb{P}^1$ en el grupo fundamental?

Question

Deje $M\subset\mathbb{C}^3$ ser la órbita del círculo de grupo $S^1\subset\mathbb{C}^\times$ sobre la tupla $(1,e^{2\pi i/3},e^{4\pi i/3})$ (por la multiplicación). Por lo tanto, $M$ es homeomórficos a $S^1$, y grupo fundamental de la $\mathbb{Z}$.

Ahora consideremos el haz de fibras se $X\subset\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\times M$ define como el subespacio obtenido mediante la eliminación de los puntos de $\{a,b,c\}$ de cada fibra,$\mathbb{P}^1\times\{(a,b,c)\}$. Por lo tanto, $X$ es un haz de fibras de más de $M$ con fibras que son proyectivas de las líneas 3 puntos menos. Este paquete admite la constante de la sección "$\infty$".

Deje $(a,b,c)\in M$, entonces obtenemos una secuencia exacta de los grupos fundamentales $$1\rightarrow \pi_1(\mathbb{P}^1-\{a,b,c\})\rightarrow\pi_1(X)\rightarrow\pi_1(M)\rightarrow 1$$ la cual está dividida por la sección "$\infty$", de la que podemos obtener una acción $$\pi_1(M)\rightarrow\text{Aut}(\pi_1(\mathbb{P}^1-\{a,b,c\}))$$ Por "dibujos", estoy bastante seguro de que esta acción es trivial. ¿Cómo podemos demostrar esto?

Answer 1

Hay un isomorfismo de paquetes sobre$M$: $$ \begin{align*} \left(\mathbb{P}^1\backslash\{1,e^{2\pi i/3},e^{4\pi i/3}\}\right)\times M&\to X,\\ (t,(z_1,z_2,z_3))&\mapsto (z_1t,(z_1,z_2,z_3)), \end {align *} $$ así que$X$ es un paquete trivial. De ello se deduce que la acción de$\pi_1(M)$ en el grupo fundamental de las fibras de$X$ es trivial.