Teorema ergodico

Question

Sabemos que,

Si $p_{jj}$ es la probabilidad de transición de estar en el estado j en n-ésimo paso y j a (n-1)-ésimo paso, a continuación, el estado j se dice es recurrente si,

$\sum_{n=0}^\infty p_{jj}^n = \infty$

y transitoria si,

$\sum_{n=0}^\infty p_{jj}^n \lt \infty$.

Mi problema de la comprensión es que si j es recurrente y es un estado, entonces la probabilidad de regresar al estado j a partir del estado j en un solo paso es $p_{jj}^1$ ,en el paso dos es $p_{jj}^2$ y .......así sucesivamente. Por lo que la probabilidad de nunca regresar al estado j es la suma de las probabilidades de transición de regreso al estado j de j donde n=1,2,......$\infty$.Estas probabilidades son la probabilidad de eventos mutuamente. Así que ,aquí como la probabilidad de ocurrencia de un evento es el infinito?

Sé que la prueba del teorema, pero no entiendo la intuición detrás del teorema y por qué la suma de la probabilidad es igual a infinito,si el estado es recurrente?.

Alguien puede explicar el teorema intuitivamente?

Answer 1

Si el estado $j$ es recurrente para la cadena de Markov $(X_t)$, $$\sum_{n=0}^\infty p_{jj}^n = \infty$$is equivalent to [in the sense that the lhs is the same] $$\sum_{n=0}^\infty \mathbb{P} (X_n=j|X_0=j) = \infty$$and to$$\sum_{n=0}^\infty \mathbb{E} [\mathbb{I}(X_n=j)|X_0=j]= \mathbb{E} \left[ \sum_{n=0}^\infty \mathbb{I}(X_n=j)\Big|X_0=j\right]=\infty$$which means the number of visits of state $j$ when starting from $j$ is on average infinite. (The state is Harris recurrent if the number of visits of state $j$ when starting from $j$ es casi seguramente infinito. La cadena de Markov es recurrente si existe un recurrentes estado, y si la cadena es irreducible.)

La instrucción en el OP pregunta

la probabilidad de nunca regresar al estado j es la suma de los las probabilidades de transición de regreso al estado j de j donde n=1,2,......∞.Estas probabilidades son las probabilidades de que mutuamente [exclusivo] eventos.

es, pues, incorrecto. Devuelve a los tiempos de $n$ e $m$ no son exclusivas de los eventos.