Dejemos que $f(z)$ sea una función analítica no evanescente en una región simplemente conectada $\Omega$ . Entonces existe una función analítica $g(z)$ tal que $e^{g(z)}=f(z)$ . ¿Existe alguna fórmula específica para $g(z)$ ?
(Por fórmula específica me refiero, por ejemplo, a la región $\mathbb{C}-\{x\le 0\}$ sabemos $$\log^{[k]}{z}=\log{|z|}+i\arg{z}+i2k\pi$$ donde $k$ es un número entero, y $\log^{[k]}{z}$ es holomorfo en $\mathbb{C}-\{x\le 0\}$ .)
EDITAR : Permítanme aclarar mi pregunta. Sé que podemos utilizar la integral para definir $\log{f}$ . Pero no es eso lo que busco. Permítanme tomar este ejemplo para explicar lo que quiero:
Dejemos que $f(z)=z^9$ y $\Omega$ la región $Re(z)>1$ . Entonces existe una función holomorfa $g(z)$ en $\Omega$ tal que $e^{g(z)}=f(z)=z^9$ y que $g(x)=9\log{x}$ de verdad $x>1$ . En este caso la fórmula que quiero es: $$g(z)=9\log|z|+9i\arg z$$ donde $\arg z\in (\pi,\pi)$ .
