Suma de recíprocos de cuadrados de la forma$3n+1$?

Question

Que es $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac1{(3n+1)^2}$?

Answer 1

Para ampliar mi comentario, dos funciones de aquí son relevantes: la Lerch trascendente

$$\Phi(z,s,a)=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{(k+a)^s}$$

y el polygamma función

$$\psi^{(k)}(z)=\frac{\mathrm d^{k+1}}{\mathrm dz^{k+1}}\log\Gamma(z)=(-1)^{k+1}k!\sum_{j=0}^\infty \frac1{(z+j)^{k+1}}$$

donde la serie de la expresión puede ser fácilmente derivados de la diferenciación de la función gamma relación $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ un número apropiado de veces

$$\psi^{(k)}(z+1)=\psi^{(k)}(z)+\frac{(-1)^k k!}{z^{k+1}}$$

y recursing como sea necesario.

La comparación de estas definiciones con la serie en la mano, nos encontramos con que

$$\Phi\left(1,2,\frac13\right)=\sum_{k=0}^\infty \frac1{(k+1/3)^2}$$

que casi se asemeja a la OP de la serie, salvo por un factor multiplicativo:

$$\frac19\Phi\left(1,2,\frac13\right)=\sum_{k=0}^\infty \frac1{9(k+1/3)^2}=\sum_{k=0}^\infty \frac1{(3k+1)^2}$$

Para el polygamma ruta, nos especializamos aquí para la trigamma caso:

$$\psi^{(1)}(z)=\sum_{j=0}^\infty \frac1{(z+j)^2}$$

Dejando $z=\frac13$, tenemos

$$\psi^{(1)}\left(\frac13\right)=\sum_{j=0}^\infty \frac1{(j+1/3)^2}$$

y nos volveremos a ver algo familiar. Por lo tanto,

$$\sum_{k=0}^\infty \frac1{(3k+1)^2}=\frac19\Phi\left(1,2,\frac13\right)=\frac19\psi^{(1)}\left(\frac13\right)$$

Answer 2

Según Maple la solución está dada por:

PS

donde$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)^2} = \frac{1}{9} \Psi\left(1,\frac{1}{3}\right)$ es la función poligamma .

Answer 3

Algunos números son negativos, por lo que el título (aunque no el enunciado real) puede referirse a éste, es más fácil de hacer: $$\ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty \ frac {1} {(3k +1 ) ^ 2} = \ frac {4 \ pi ^ 2} {27}$$

Answer 4

La suma es$$\frac19{\Psi(1,\frac13)}

donde$\Psi$ es la función de Poligamma

Answer 5

La suma puede expresar $$\begin{align} & \sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{1}{{{(3n+1)}^{2}}}} \\ & =\frac{1}{9}\left[ \frac{{{\Gamma }''}(1/3)}{\Gamma (1/3)}-{{\left( \frac{{\Gamma }'(1/3)}{\Gamma (1/3)} \right)}^{2}} \right] \\ & =1+\frac{1}{9}\int_{0}^{\infty }{\frac{t{{\mathrm{e}}^{-t/3}}}{{{\mathrm{e}}^{t}}-1}\mathrm{d}t} \\ \end {align}$$ pero no puede encontrar el valor específico.