¿Cómo es el factor$x^{p^n}-1$ en$\mathbb{Z}/p^n$?

Question

¿Hay una descripción de cómo$x^{p^n}-1$ influye en$\mathbb{Z}/p^n$?

Soy consciente de la situación de$n = 1$.

EDITAR: Realmente quiero decir$\mathbb{Z}/p^n$, no$\mathbb{F}_{p^n}$.

Answer 1

Un informe de mis conclusiones. Nada sino una respuesta.

Las dificultades se derivan de la posibilidad de que no es único de la factorización de hacer una aparición aquí. Algo en contra de mis expectativas, el caso más pequeño $p=n=2$ se comporta muy bien. Al menos yo no pude encontrar factorizations distinta de la trivial. $$x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)\pmod4.$$

Con $p=3,n=2, f(x)=x^9-1$ do obtener complicaciones. Tenemos la costumbre $$ f(x)=(x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1),\etiqueta{1} $$ pero dado que el $f(x+3)\equiv f(x)\pmod 9$, también tenemos $$ f(x)=(x+2)(x^2+7x+4)(x^6+x^3+1).\la etiqueta{2} $$ Observar que $x^6+x^3+1$ es invariante bajo la sustitución de $x\mapsto x\pm3$, pero el menor grado de característica cero factores no son. Es fácil ver que $(1)$ e $(2)$ son esencialmente diferentes factorizations. Por ejemplo, $x-1$ no es un factor de cualquiera de los factores en $(2)$.

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Creo que mas se puede decir, aunque. Puede ser un $p$-ádico herramienta puede arrojar más luz a esta pregunta?