Deje $R$ ser un Noetherian anillo conmutativo y $x$ e $y$ dos elementos en $R$. Construimos el complejo de Koszul en $x$ e $y$. Empezamos por los siguientes dos complejos de la cadena:
$$ C_2=0\a C_1=R\xrightarrow{\ x\ } C_0= R\a C_{-1}=0$$ $$D_2=0\to D_1=R\xrightarrow{\ y\ } D_0= R\to D_{-1}=0$$ Ahora construimos el tensor de la cadena del producto complejo, que denotamos $CD:=C\otimes D$, $$CD_2=C_1\otimes D_1$$ $$CD_1=C_1\otimes D_0 \oplus C_0\otimes D_1 $$ $$CD_0=C_0\otimes D_0$$ y obtenemos el complejo de cadena $$CD_3=0 \to CD_2\xrightarrow{\ \partial_2\ } CD_1\xrightarrow{\ \partial_1\ } CD_0 \to CD_{-1} =0$$ donde
$$\partial_2 (c_1\otimes d_1)=(-c_1\otimes (yd_1)\,,\,(xc_1)\otimes d_1)$$ y $$\partial_1 (c_1\otimes d_0\,,\,c_0\otimes d_1)=(xc_1)\otimes d_0+c_0\otimes (yd_1)$$ Está claro que $\partial_1\circ\partial_2=0$
Pregunta: ¿Cómo podemos definir la multiplicación $CD_i\times CD_j\to CD_{i+j}$ a $(CD,\partial)$ que va a hacer una gradual diferencial álgebra; por ejemplo, si tomamos dos elementos en $CD_1=C_1\otimes D_0 \oplus C_0\otimes D_1$, $(c_1\otimes d_0,c_0\otimes d_1)$ y $(c'_1\otimes d'_0,c'_0\otimes d'_1)$ ¿cómo podemos multiplicar para obtener un elemento en $CD_2=C_1\otimes D_1$ ?
