¿Qué hay más allá de un volumen en Geometría?

Question

He encontrado este bonito explicación sobre la Geometría del espacio dentro de mi de la enciclopedia:

Un punto en movimiento es una línea, una línea móvil es una superficie, una superficie en movimiento es un volumen.

Soy consciente de la Teoría de cuerdas y la 10ª dimensión teórica, pero, por ejemplo, la 4ª dimensión, el tiempo, no es algo que siga volumen (profundidad) por lo que supongo que, por lo tanto la Teoría de cuerdas no tiene nada que ver con la Geometría Espacial. Me corrija si estoy equivocado.

Mi pregunta es, en la avanzada de la Topología o la Geometría hay nada más allá de un volumen? Y si es así, ¿cómo podría ser representado? Es un movimiento de volumen incluso algo o simplemente...más volumen? Tal vez Topología no es lo que estoy pensando es y yo estoy diciendo algo sin sentido?

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$Parafraseando a Ian Stewart, los matemáticos no decir "la cuarta dimensión", pero "una cuarta dimensión". Empatically "sí", hay algo "más allá de un volumen". Por otra parte, uno no necesita ir más allá de álgebra lineal (principios de pregrado de nivel) para encontrar este material formalmente.

Para un matemático moderno, el prototipo de los "$n$-dimensiones del espacio" es el espacio Cartesiano $\Reals^{n}$, el conjunto de ordenadas $n$-tuplas de números reales, equipado con dependientes del contexto extra estructura que puede incluir:

• Coordinar sabio adición y escalar multipication, convirtiendo $\Reals^{n}$ en el sistema de espacio vectorial.

• El producto escalar o asociado de la norma, en cuyo caso se habla de $n$-dimensional en el espacio Euclidiano.

• La colección de abrir los conjuntos definidos por la distancia Euclídea métrica, y la consiguiente nociones de continuo y suave de las funciones. Un espacio topológico basa en la suave estructura Cartesiana $n$espacio tridimensional es un liso $n$-colector.

Un suave $n$-colector de sí se puede (y a menudo lo es) equipado con el adicional de la estructura de una métrica de Riemann. Cantidades geométricas tales como la longitud (de los vectores de tangentes, o de curvas suaves), ángulo entre dos vectores tangente en un punto), y el área (superficies lisas) tienen sentido en un colector de Riemann.

En la relatividad general, una vez equipa el espacio-tiempo con una de Lorenz métrica, similar a una métrica de Riemann, pero "con una timelike dirección" en cada punto.

En riesgo de hablar de toda una profesión, la mayoría de los geómetras definir una curva a ser un (suave) $1$-colector, y una superficie para ser un (suave) $2$-colector. Una "superficie en movimiento", sugiere una sólida región de $\Reals^{3}$, un tipo muy especial de $3$-colector; el término "volumen" es, por tanto, potencialmente ambiguos, y en mi experiencia no se suele usar. En el sentido, creo que usted está pidiendo, sin embargo, la progresión de la curva, superficie, volumen" continúa con (suave) colectores de dimensión cuatro, cinco, etc. Claramente no hay ningún límite superior en la dimensión, no hay final para esta secuencia.

Answer 2

Es cierto que en la Relatividad uno concibe el espacio y el tiempo como un ser unificado en uno de 4 dimensiones del marco. Imaginar una cuarta dimensión es el tiempo, en el que los objetos en el espacio tridimensional están evolucionando, también puede ser una manera útil de conseguir una manija en más dimensiones de razonamiento.

Sin embargo, no tiene mucho sentido decir que el tiempo es "la" cuarta dimensión. Después de todo, si el tiempo es la cuarta dimensión, entonces, ¿qué es, digamos, la 3ª dimensión? ¿Cuáles son la segunda y la primera de las dimensiones? ¿Dónde apuntan?

Además, el espacio-tiempo que nos enfrentamos en la relatividad de la realidad, es solo un ejemplo de una de las 4 dimensiones de la geometría. En la teoría de cuerdas, que a menudo se postula que hay más de 10 dimensiones espaciales, como usted menciona, y que el "dimensiones extra" que no vemos son "compactas", es tan microscópico, que no podemos observar en nuestro día-a-día de las interacciones. Sin embargo, hay muchas de las formulaciones de la teoría de cuerdas, y algunos suponen que hay, en realidad, de 26 dimensiones; otros, que hay 11. La conclusión es que ninguna de estas teorías se han experimental de puesta a tierra y es probable que todos siguen profundamente teórica para un largo tiempo. También es posible que ninguno de ellos es cierto.

Pero no tenemos que mirar sólo a la física teórica para encontrar ejemplos de mayores dimensiones de la geometría, y lo que es más importante, no tenemos que suponer que un cierto número de dimensiones tendría que "existen en el espacio" para lidiar con ese nivel de mayores dimensiones de la geometría. A menudo, en las matemáticas nos encontramos con espacios abstractos con un gran número de dimensiones, que consisten en un conjunto de puntos que tienen algún tipo de estructura espacial en ellos, que no viene de la "existentes en el espacio". Un concepto clave en la mecánica clásica y en la ingeniería es la de un "espacio de configuración". Es decir, tenemos un sistema, que podríamos imaginar, por ejemplo, un brazo robótico con un número de articulaciones, y queremos imaginar las formas en que este sistema puede evolucionar, o en el caso de que el brazo robótico, cómo este brazo puede girar y moverse. Tal vez este brazo tiene algunas en el extremo que interactúa con cualquier producto que funciona. El espacio de configuración de este brazo, a continuación, se compone de todos los estados en los que el brazo puede ser, literalmente, en todas sus posibles configuraciones.

Ahora, es posible que la punta de este brazo puede ser en el mismo lugar, mientras que el brazo está en dos configuraciones diferentes. En cualquier caso, consideramos que estas dos configuraciones diferentes "puntos" en el espacio de configuración. De hecho, se requiere un cierto gasto de trabajo para hacer que el brazo de la transición desde la configuración de la $A$ a la configuración de la $B$, aunque estas dos configuraciones de determinar el mismo punto en el que la punta descansa. Además, si deseamos mover la punta de algún punto de $a$ a $b$, es posible que el brazo no puede tomar una ruta directa entre los dos puntos (tal vez las articulaciones se han movido tan lejos como puede ir en la dirección que apunta directamente hacia el punto de destino), y para que el brazo tiene que girar alrededor de alguna manera antes de que la punta puede ser hecho para descansar en el punto de $b$. Esto ilustra que el brazo que realmente tiene que moverse dentro de su espacio de configuraciones, y encontrar un camino entre dos puntos en el espacio de configuraciones pueden ser altamente no trivial problema matemático para el programador de dicho brazo robótico.

Todo esto es para mostrar que el de mayores dimensiones de la geometría en realidad es eminentemente aplicable a una amplia gama de conocimientos científicos y disciplinas de la ingeniería. El número de dimensiones de un espacio de configuración puede ser muy grande, y sube para cada grado de libertad del sistema en cuestión (por ejemplo, con el número de juntas en nuestro brazo robótico. Otras aplicaciones incluyen, por ejemplo, conjuntos de soluciones para ecuaciones diferenciales parciales, que surgen por todas partes en la ciencia y la ingeniería. Y hay más dimensiones análogos de longitud, área y volumen, que pueden ser descritos como hyper-volumen. También podemos describir mayores dimensiones, tales como tesseract.

La visualización de todos estos conceptos es muy difícil, y en cierto sentido, puede ser imposible obtener una completa imagen intuitiva de lo que está pasando. Por esta razón, las personas a menudo se basan en intuitiva muletas para entender, como la de pretender que "la cuarta dimensión es el tiempo". Estos a menudo sólo sirven para perpetuar las ideas falsas e inhibir la real comprensión acerca de lo de mayores dimensiones de la geometría que realmente es, y me frustra mucho ver las fuentes educativas siguen perpetuando estas ideas incorrectas, ya sea por pereza o por la maestra propio fracaso para entender realmente lo que se está enseñando. En cualquier caso, espero que esta exposición ayuda a aclarar su comprensión, así como de los recursos que Andrew D. Hwang ha señalado que.