$2^5 \cdot a^b=2,5ab$

Question

Me encontré con este problema en los niveles de primaria número de el libro de la teoría, y creo que he resuelto. Bien, la pregunta que se plantea como

$2^5 \cdot 9^2 = 2,592$. Hay otros pares de $a,b \in \mathbb{Z}$ tal que $2^5 \cdot a^b = 2,5ab$ está satisfecho ($a,b$ son las decenas y un representante, no un producto)?

Así que en un principio he configurado una $9\times9$ cuadrícula tamizada y la respuesta (que es "No"), principalmente por la eliminación de tales respuestas obvias como $a\ne1,2$, e $a^b\le82$. Entonces rápidamente me di cuenta de que $2^5|25ab$, y sólo hay unos pocos enteros donde $32\cdot x=25ab$, para algunos enteros $a,b,x$. Por ejemplo,$32 \cdot 81 = 2,592 = 2^5 \cdot 9^2$, pero esto no funciona para $32 \cdot 80=2,560 \neq 2^5 \cdot 6^0$ e $32 \cdot 79 = 2,528 \neq 2^5 \cdot 2^8$

Así que creo que, no, esto no es posible, excepto donde se $a=9, b=2$.

Ahora que creo que he resuelto, ¿existe un algoritmo para hacer esto de manera rápida o se requiere este tipo de análisis para todos los $a^b \cdot c^d=a,bcd$?

Answer 1

Solución $(a,b,c,d) = (2,5,9,2)$ es único.

Como hhsaffar escribió en los comentarios, esto es fácilmente comprobable en un equipo. Aquí es cómo usted puede hacerlo en Python 3:

for a in range(0,10):
  for b in range(0,10):
    for c in range(0,10):
      for d in range(0,10):
        if 1000*a + 100*b + 10*c + d == a**b * c**d:
          print("a = ", a, "; b = ", b, "; c = ", c, "; d = ", d)

Salida:

a =  2 ; b =  5 ; c =  9 ; d =  2

Yo inicialmente la intención de hacer unos cuantos más ejemplos en otros idiomas, pero todos ellos se reducen a esto.

Editar

Desde el OP dijo que él no tiene Python, y yo mismo no uso de Arce, aquí está la versión de JavaScript que debe funcionar en cualquier navegador:

for (a = 0; a < 10; a++)
  for (b = 0; b < 10; b++)
    for (c = 0; c < 10; c++)
      for (d = 0; d < 10; d++)
        if (1000*a + 100*b + 10*c + d == Math.pow(a,b) * Math.pow(c,d))
          document.getElementById("result").innerHTML +=
            "a = " + a + "; b = " + b + "; c = " + c + "; d = " + d + "<br>";

Este código exige <div id="result"></div> algún lugar en el documento. Usted puede probar o cambiarlo aquí. Cuidado: se ejecuta en el navegador, y si usted hace un bucle infinito o a un uso intensivo del procesador, algoritmo, su navegador puede dejar de responder o bloquearse, perdiendo así usted pestañas abiertas y/o cualquier trabajo no guardado. Me sugieren que el funcionamiento de este en otro navegador (por ejemplo, en Chrome, si usted normalmente uso Firefox).

Answer 2

No es un "simple" manera de hacer esto. Observe que $2^5\cdot a^b=25ab$ son ambos enteros. Por lo tanto, desde el $a^b$ es un número entero, por lo que debe de ser $$ a^b=\frac{25ab}{2^5}=\frac{25ab}{32} $$ Ahora esto puede ser hecho a mano de forma muy sencilla. Sabemos que $2500<a^b<2600$. ¿Cuántos múltiplos de $32$ ajuste de esta desigualdad? Esto es fácil de comprobar con la mano, las posibilidades son $32\cdot 79=2528$, $32\cdot 80=2560$, y $32\cdot 81=2592$. Ahora solo factor de los números: $$ 2528=2^5\cdot79^1\;\;,\;\;2560=2^9\cdot5^1\;\;,\;\;2592=2^5\cdot 3^4 $$ factorización de un $2^5$ los rendimientos de las opciones $79^1$, $5^1$, y $3^4$ para el valor de $a^b$. Desde $0\leq a \leq 9$, $79^1$ se elimina. Es fácil comprobar que $5^1$ no puede trabajar para, a continuación, $a=5$ e $b=1$ e las $2^5\cdot 5^1=160 \neq 2551$.

Esto deja a $a^b=3^4$. También podemos escribir esta $a^b=(3^2)^2=9^2$ o $a^b=81^1$. Desde $a,b$ son enteros con $0\leq a \leq 9$, o bien $a=3$ e $b=4$ o $a=9$ e $b=2$. Sabemos que el último para ser verdad, y el caso de $a=3$ e $b=4$ es sencillo mostrar que no funciona. Este método no requiere una computadora o una calculadora y sólo tomó alrededor de $5$ minutos usando simple lápiz y papel.