Una fórmula vagamente similar a Sherman y Morrison

Question

Si$V$ es una matriz$p\times n$ y$u$ es un vector$n$, ¿cómo puedo probar la siguiente igualdad?

$$ \ frac {u ^ TV ^ T (VV ^ T) ^ {- 1} Vu} {1-u ^ TV ^ T (VV ^ T) ^ {- 1} Vu} = u ^ TV ^ T [V (I-uu ^ T) V ^ T] ^ {- 1} Vu. $$

Mi línea de ataque es reconocer que el denominador inferior es un escalar, y trató de ponerlo en el inverso en la parte superior. Sin embargo, no puedo obtener equivalencia, ¿alguien sabe cómo?

Answer 1

Considere la fórmula (1) y (2) en la identidad de la matriz de Woodbury . Aplicados a la matriz de bloques$M = \begin{pmatrix} 1 & u^t V^t \\ V u & VV^t\end{pmatrix}$, nos ofrecen dos formas posibles de calcular el$(1, 1)$ - entrada de$M^{-1}$:

PS

PS

Ahora esto produce tu ecuación:

$$ \begin{align*} \frac{u^t V^t(VV^t)^{-1} Vu}{1 - u^t V^t(VV^t)^{-1} Vu} &= [1 - u^t V^t(VV^t)^{-1} Vu]^{-1} - 1 = (M^{-1})_{1, 1} - 1 \\ & = u^tV^t[V(I - uu^t)V^t]^{-1}Vu \end {align *} $$

(Suponiendo que todos los términos que ocurren están bien definidos).

Answer 2

Esto es simple consecuencia de la fórmula de Sherman-Morrison-Woodbury.

Mediante una aplicación directa de la fórmula de Sherman-Morrison-Woodbury tenemos $$ \begin{align} {\begin{pmatrix} V(1 - uu^T) V^T \end {pmatrix}} ^ {- 1} & = (VV ^ T- (Vu) (Vu) ^ T) ^ {- 1} \\ & = (VV ^ T) ^ {- 1} + \ dfrac {(VV ^ T) ^ {- 1} (Vu) (Vu) ^ T (VV ^ T) ^ {- 1}} {1 - u ^ TV ^ T (VV ^ T) ^ {- 1} Vu} \ end {align} $$

Al multiplicar el LHS y el RHS arriba a la izquierda primero por$(Vu)^T$ y luego a la derecha por$Vu$, obtenemos$u^TV^T{\begin{pmatrix} V(1 - uu^T) V^T \end{pmatrix}}^{-1}Vu = c + \dfrac{c^2}{1-c}$ donde$c = u^TV^T(VV^T)^{-1}Vu.$

Esto se simplifica a$\dfrac{c}{1-c}$ y la respuesta sigue.