Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/Latin1Supplement.js

4 votos

Sn1eixωdω

DadoxRn, ¿existe una expresión más simple para la integral? $$\int_{S^{n-1}}\operatorname e^{ix\cdot \omega}\, \operatorname d\omega dondeSn1 es la esfera deRn. Sé que solo depende de | x | pero nada más.

2voto

SeaRSO(n) una rotación tal queRx=e1=(|x|,0,,0), luego el cambio de las variablesy=R1ω nos da\int_{S^{n-1}}e^{ix\cdot\omega}d\omega = \int_{S^{n-1}}e^{i|x|y_1}dy$ $ Esto prueba que la integral depende solo de$|x|$. Ahora podemos hacer otra sustitución escribiendoy = (\sin\phi,z\cos\phi) donde\phi\in[-\pi/2,\pi/2] yz\in S^{n-2} (donde asumimosn\ge3). Este cambio de variables debería darnos (pero me gustaría una segunda opinión)dy = \cos^{n-1}(\phi)d\phi dz, y por lo tanto\int_{S^{n-1}}e^{i|x|y_1}dy=\int_{S^{n-2}}dz\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}e^{i|x|\phi}\cos^{n-1}(\phi)d\phi$ $ Es bien sabido que\int_{S^{n-2}}dz=\frac{2\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma((n-1)/2)} y la segunda integral deben poder resolverse exactamente (Probablemente la mejor manera es la integración del contorno).

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X