Problema de secuencias aritméticas que no puedo resolver

Question

$$\frac{1}{\sqrt a_1 + \sqrt a_2} + \frac{1}{\sqrt a_2 + \sqrt a_3} + \cdots + \frac{1}{\sqrt a_{n-1} + \sqrt a_n} = \frac{n-1}{\sqrt a_1 + \sqrt a_n}$$

Necesito probar esto; no sé cómo llegar de los términos del lado izquierdo al término del lado derecho? ¿Qué debo hacer para resolver esto?

Por favor, responda con el mayor detalle posible, ¡gracias!

Answer 1

Sólo hay que racionalizar los términos. El denominador es el mismo para todos, $d$ Es la diferencia común de AP:

$$S = \sum_{k = 1}^{n-1}\frac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_k}}{d} = \frac{\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_1}}{d} = \frac{n-1}{\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_1}}$$