Por definición, en una matriz ortonormal, todos los vectores de columna son vectores unitarios y mutuamente ortogonales. Sin embargo, los vectores de fila también resultan ser una base ortonormal. Sé cómo probarlo matemáticamente, pero ¿hay alguna intuición o interpretación geométrica detrás de esta observación?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Basta observar que, dado un operador ortogonal en$f \colon V \to V$, donde$V$ es un espacio euclidiano real de dimensión finita, su operador de transposición${}^tf \colon V^* \to V^*$ también es ortogonal.
De hecho tenemos, para todos los$\varphi, \psi \in V^*$,
$$\langle \varphi, \, \psi \rangle: = \langle a, \, b \rangle,$ $ donde$a$ y$b$ son los elementos en$V$ que representan los funcionales$\varphi, \, \psi$ con respecto al producto escalar dado. Así que obtenemos, utilizando la ortogonalidad de$f$,$$\langle {}^t f(\varphi), \, {}^tf(\psi) \rangle = \langle f(a), \, f(b) \rangle = \langle a, \, b \rangle = \langle \varphi, \, \psi \rangle$ $ y hemos terminado.
La transposición de la operación de un nonsingular real de la matriz corresponde a la geometría de la operación de pasar de una base de $\mathbb R^n$ a los dos uno. Es decir, si $v_1\ldots v_n$ son las columnas de $A$, entonces las columnas $w_1\ldots w_n$ de % de $A^T$ formulario de una base de $\mathbb R^n$ y que satisfacen la condición $$ v_i\cdot w_j= \delta_{i{}j}.$$ (Es por eso que las dos bases se llama doble de la otra). El teorema de que la transpuesta de una matriz ortogonal es ortogonal se pueden formular diciendo que el dual de un ortonormales base es una base ortonormales.
El problema es, por tanto, caracterizar geométricamente la transformación de una base en su doble uno. En $\mathbb R^3$ esto puede ser realizado a través de la cruz del producto de la siguiente manera: establecimiento $g=(v_1\times v_2)\cdot v_3$, usted tiene que $$ \begin{array}{ccc} w_1=g^{-1} v_2\times v_3, & w_2=g^{-1}v_3\times v_1, & w_3=g^{-1}v_1\times v_2\end{array}.$$ Fuente: Itskov del libro, pag.10.