¿Por qué estas dos secuencias terminan en un número creciente de ceros?

Question

El trimorphic números son enteros cuyos cubos de final en los dígitos de los números enteros de los mismos, como ${\sf{49}}^3=1176\sf{49}$, y he descubierto algo muy interesante acerca de tales enteros que terminan en $9$ e $1$.

La OEIS secuencia A224473 es una secuencia de trimorphic números congruentes a $9\pmod{10}$ y tiene la fórmula $a_1(n)=2\cdot5^{2^n}-1\pmod{10^n}$ para un número natural $n$. La secuencia es $\{9,49,249,1249,\cdots\}$. Si denotamos $b_1(n)=a_1(n)^2-1$, podemos ver el siguiente. $$b_1(1)=80\\b_1(2)=2400\\b_1(3)=62000\\b_1(4)=12560000\\\cdots$$ That is, $b_1(n)\equiv0\pmod{10^n}$.

Además, A224474 es una secuencia de trimorphic números congruentes a $1\pmod{10}$ con fórmula $a_2(n)=2\cdot16^{5^n}-1\pmod{10^n}$, y el primer par de valores se $\{1,51,751,8751,\cdots\}$. Si denotamos $b_2(n)=a_2(n)^2-1$, podemos observar una cosa similar. $$b_2(1)=0\\b_2(2)=2600\\b_2(3)=564000\\b_2(4)=76580000\\\cdots$$ That is, $b_2(n)\equiv0\pmod{10^n}$.

Preguntas.

1. ¿Cómo puede ser demostrado que $b_1(n)$ e $b_2(n)$ son divisibles por $10^n$?

2. Es el hecho de que todos ellos son trimorphic números sólo una coincidencia, o no este comportamiento se produce debido a que la propiedad?

Answer 1

Deje $c_2(n)=2 \cdot 16^{5^n}$. Definimos: $$d_2(n)=c_2(n)^2-1=(c_2(n)+1)(c_2(n)-1)=4\cdot16^{5^n}\cdot(16^{5^n}-1)$$ Claramente, $2^n$ divide el producto como tenemos un $16^{5^n}$ plazo aquí. Por otra parte, el uso de la elevación, podemos ver: $$\nu_5(16^{5^n}-1)=\nu_5(5^n)+1=n+1$$ Por lo tanto, $2^n \cdot 5^n$ divide $d_2(n)$. Ahora: $$10^n \mid c_2(n)^2 \implies 10^n \mid (c_2(n)-k\cdot10^n)^2\implies 10^n \mid a_2(n)^2-1 \implies 10^n \mid b_2(n)$$ La misma elevación se puede hacer para el otro caso.

Estos valores se establecen de forma que podamos usar el levantamiento de imponer la divisibilidad por $10^n$ condición. Esto les da la trimorphic de la propiedad.

Nota: $\nu_p$ denota el poder de prime $p$.