Campos finitos y sus subcampos

Question

Deje $\mathtt{F}$ e $\mathtt{F'}$ dos campos finitos de orden $q$ e $q'$ respectivamente. Entonces:

1. $\mathtt{F'}$ contiene un subcuerpo isomorfo a $\mathtt{F}$ si y sólo si $q\le q'$

Si en parte es cierto, sólo si una parte falla por $q=p_1^a,q'=p_2^b$ tal que $q\le q',p_1\ne p_2$, son dos números primos.

2. $\mathtt{F'}$ contiene un subcuerpo isomorfo a $\mathtt{F}$ si y sólo si $q$ divide $q'$

Para $q=2,q'=p_1^b$donde $p_1$ es una extraña prime, $q\not|q'$, pero lo contrario también es cierto.

3. Si $\gcd(q,q')\ne1$, entonces ambos son isomorfos a los subcampos de campo finito $\mathtt{L}$

Cierto! Gira en torno al hecho de que el orden de un campo finito es el poder de una sola prime.

4. Tanto en $\mathtt{F}$ e $\mathtt{F'}$ son cociente de los anillos del anillo de $\mathbb{Z}[X]$

No se cómo finito campos generado explícitamente?

Es correcto? Especialmente en decir que para (1) si una parte es verdad, y para (2) contrario es cierto? Otra cosa, ¿hay algún contador de ejemplos?

Answer 1

Para 1, usted puede simplemente tomar una forma más precisa de contra-ejemplo $q=2$ e $q'=3$. A mí me parece que esto contradice el "si" de la parte.

Para 2, esto es falso, porque de Jyrki del comentario. La buena propiedad es la siguiente si $q=p^m$ e $q'=p^n$ entonces $F$ está contenido en $F'$ si y sólo si $m$ divide $n$. Un contra-ejemplo a la proposición 2 es $F:=\mathbb{F}_4$ e $F':=\mathbb{F}_8$ (respectivamente el campo con $4$ e $8$ elementos). Una rápida argumento para demostrar este es el multiplicativity de grados, suponga que $F'$ contiene $F$, entonces, porque tenemos $K:=\mathbb{F}_2$ (la primitiva de campo) en ambos campos, tenemos :

$$[F':K]=[F':F][F:K] $$

Ahora $[F':K]=dim_K(F')=3$ e $[F:K]=dim_K(F)=2$ por lo tanto $2$ divide $3$ lo cual es claramente falso.

Para 3, tienes razón, está contenida en un común finito extensión de su común primitivo campo.

De 4, tiene usted razón. Sin embargo, es una buena y fácil ejercicio para mostrar correctamente.