Valor mínimo de la integral definida.

Question

$f(x)$ es continua en $[a,b]$ y $f(x)>0$ . $$g(m)=\int_a^b |f(x)-m|\,dx.$$ Reclamación: $g(m)$ tiene un mínimo cuando $$m=\frac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a}.$$

¿Esta afirmación es cierta? Si es cierta, ¿cómo se puede demostrar? He intentado utilizar $$F(x)=\int f(x)\,dx$$ como una función creciente, pero no funcionó bien...

Answer 1

Observamos que $$g(m)=\int_a^b\sqrt{(m-f(x))^2}\,dx.$$ De ello se desprende que \begin{align*} g'(m)&=\frac{d}{dm} \int_a^b\sqrt{(m-f(x))^2}\,dx \\ &=\int_a^b\frac{\partial}{\partial m}\sqrt{(m-f(x))^2}\,dx \\ &=\int_a^b\frac{m-f(x)}{\sqrt{(m-f(x))^2}}\,dx \\ &=\int_a^b\operatorname{sgn}(m-f(x))\,dx. \end{align*} En realidad, esta integral es más fácil de evaluar utilizando la integral de Lebesgue (si la integral de Riemann existe, la integral de Lebesgue existe y son iguales). El resultado sería $$\int_{[a,b]}\operatorname{sgn}(m-f(x))\,d\mu =\mu(\{x\in[a,b]:m-f(x)> 0\})-\mu(\{x\in[a,b]:m-f(x)<0\}). $$ Queremos que sea cero, y podemos ver que esto ocurrirá cuando, en el intervalo $[a,b],$ $m$ se elige para que la mayor cantidad de área esté por encima de $m$ (es decir, por encima de $m$ y abajo $f$ ) como se indica a continuación $m$ . Esa es la media que has escrito arriba.