¿Son los funtores adjuntos de diferenciación e integración en algún sentido?

Question

La diferenciación $\frac {d}{dx}$ y la integración $\int$ en el cálculo estándar son "operaciones opuestas" en cierto sentido, pero no literalmente inversas (debido a la constante de integración).

Esto me hace adivinar que hay un sentido en el que son contiguos (en el sentido de la teoría de categorías). ¿Hay alguna manera de formalizar esto?

Answer 1

Sí, hay un sentido en el que están adjuntos, y de hecho forman una equivalencia.

En realidad, es una más de la construcción en general : si $X,Y$ son conjuntos y $R,S$ son las relaciones de equivalencia en $X$ e $Y$ respectivamente, a continuación, $R$ puede ser visto como una delgada categoría cuyo conjunto de objetos es $X$ y hay una flecha $x\to x'$ si y sólo si $xRx'$ (tenga en cuenta que la simetría de $R$ implica que es en realidad una fina groupoid). Si vemos la $S$ como una categoría de la misma manera, luego de un functor $R\to S$ es sólo una función $\alpha:X\to Y$ tal que $xRx'$ implica $\alpha(x)S\alpha(x')$ para todos los $x,x'$. En particular, una equivalencia entre las categorías $R$ e $S$ es lo mismo que dos funciones $\alpha:X\to Y$ e $\beta:Y\to X$ la satisfacción de la propiedad de arriba, y de tal manera que $xR\beta(\alpha(x))$ e $yS\alpha(\beta(y))$ para todos los $x\in X$ e $y\in Y$.

Ahora para obtener su ejemplo, definir $X=C^1(\mathbb{R,R})$, $Y=C^0(\mathbb{R,R})$, $R$ es la relación de equivalencia $$fRg\Leftrightarrow f-g \text{ is constant,}$$ $S$ es sólo la discreta relación en $S$ (es decir, la igualdad), $\alpha$ es la diferenciación, y $\beta$ es "la" integración (es decir, $\beta$ sólo recoge algunos primitivo para cada función).