Encuentre una función no negativa de aumento monótono tal que$f'(x)^2 \ge \alpha f(x)f''(x),\alpha>1$

Question

Podemos construir una función es monótona creciente y positivo, tal que $f'(x)^2 \ge \alpha f(x)f''(x)$ por cada $x\in \mathbb R$, donde $\alpha$ es mayor que $1$. Si no, ¿cómo podemos dar una prueba?

Nota: se dice $f(x)$ es monótona creciente, iff $f(x)<f(y)$ para todos los $x<y$.

He probado un montón de ejemplos, pero aun no encuentra una solución. Por ejemplo, considere la posibilidad de $f(x)=b\exp(ax)$, a continuación, $f'(x)^2=f(x)f''(x)=b^2a^2\exp(ax)$, por lo que la restricción "$\alpha$ es mayor que 1" no es cierto.

Answer 1

Si $f > 0$, podemos escribir $f(x) = \exp(g(x))$ donde $g$ es monótona creciente. La desigualdad se convierte entonces en $$ \alpha ((g')^2 + g'') \le (g')^2 $$ es decir, con $g' = u$, $$ u' \le (1/\alpha - 1) u^2 $$ Tenga en cuenta que $1/\alpha - 1 < 0$, lo $u$ es siempre positiva y $u'$ es siempre negativo. Pero $$\dfrac{d}{dx} \dfrac{1}{u} = - \frac{u'}{u^2} \ge 1 - \frac{1}{\alpha} > 0$$

y, por tanto, para $x < 0$,

$$ \frac{1}{u(x)} \le \frac{1}{u(0)} + \left(\frac{1}{\alpha}-1\right) x$$

lo que significa que vamos a llegar a $1/u(x) = 0$ a un valor finito de $x$, es decir, la solución no puede existir para todos los verdaderos $x$.