Sobre el cociente grupal por un subgrupo característico.

Question

Mi pregunta es: Vamos a $H,K\leq G$ ser dos característicos de los subgrupos y asumen $H\leq K$. Tenemos $K/H$ es característico en $G/H$?

Sabemos que cualquier característica de los subgrupos de $G/H$ debe ser de la forma $K/H$ para algunas características de los subgrupos $K$ de $G$ desde cualquier automorphism de $G$ induce un automorphism de $G/H$.

Pero es a la inversa verdad? O cualquier contraejemplo?

Answer 1

$\newcommand{\Span}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}$Deje $p$ ser un extraño prime, y $G$ el grupo de orden $p^{3}$ y el exponente $p^{2}$, que es el dado por la presentación $$\Span{ a, b : a^{p^{2}} = b^p = 1, b^{-1} a b = a^{1+p}}.$$ Entonces

• $H = \Span{a^{p}} = Z(G)$ es una característica de los subgrupos de orden $p$ de $G$,
• $K = \Span{a^{p}, b}$ es una característica de los subgrupos de $G$, ya que se compone de los elementos de $G$ de fin de un divisor de $p$, y ha pedido $p^{2}$,
• $H \le K$.

Pero $G/H$ es elemental abelian de orden $p^{2}$, y por lo tanto característicamente sencillo, de manera que $K/H$ (que tiene orden de $p$) no es característico en $G/H$.

El punto aquí es que no todos los automorfismos de $G/H$ eleva a automorfismos de $G$.

Answer 2

Tome $G$ a ser el diedro grupo $D_4$. Tiene una presentación $\langle r,s\mid r^4=1=s^2,sr=r^3s\rangle$. Deje $K=\langle r\rangle$ el subgrupo de rotación (que es lo cíclico de orden $4$), y $H=\langle r^2\rangle$. Cualquier automorphism de $G$ debe preservar $K$, ya que se debe asignar $r$ a un elemento de orden $4$, y tiene una consecuencia, también corrige $r^2$, lo $K$ e $H$ son característicos. Pero $G/H$ es el grupo de Klein, que no tiene no trivial de la característica de los subgrupos, y $K/H$ es el grupo cíclico de orden $2$.