Número de ceros de$z^4-z^3-4z+1$ en el anillo$\{ 1 < |z| < 2 \}$

Question

Necesito demostrar que el número de ceros de $z^4-z^3-4z+1$ en el ring $\{ 1 < |z| < 2 \}$ es igual a $3$.

Lo que he hecho hasta ahora; he probado sólo hay un cero en el $\{|z|\leq1\}$. Así que la única cosa que queda es demostrar que no hay ceros en la $\{|z|\geq2\}$. Esta parte, sin embargo, crea un montón de problemas para mí. He probado el clásico de la forma, el uso del teorema de Rouch e incluso la adición de nuevos polinomios en orden a usarlo, pero nada ayudó.

También trató asumiendo $z^4-z^3-4z+1=0$ e $|z|\geq2$ con algún uso inteligente de inequalites, que no ayuda tampoco. No sé si me estoy perdiendo algo, pero de acuerdo a WA, un cero es $\approx1.9325$ por lo que podría estar causando problemas en mi opinión.

Answer 1

Esto puede ser demostrado por Rouch del teorema.

Sugerencia: $$|z^4 + 1| > |-z^3 - 4z|$$ en $|z| = 2$.

No se puede probar esta desigualdad sobre la base de la desigualdad del triángulo.

Una manera de demostrar que la desigualdad está dejando $z = 2e^{i\theta}$ , entonces el problema es equivalente a $$257 + 32 \cos 4\theta > 256 \cos^2 \theta$$

Usted puede probar que esto es cierto para todos los $\theta\in\mathbb{R}$