Supongamos que te doy la línea siguiente elemento:
$$ ds^{2} = -(1+2\phi)dt^{2}+(1-2\phi)(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}) \tag{1}$$
Sin decir nada se podría pensar que esto es sólo otro elemento línea como un elemento línea esféricas en coordenadas; se podría pensar que acabo de realizar otra transformación de coordenadas a un sistema que se endowned con un gráfico en particular en el colector de $(M,g)$.
Pero, Si os digo que $(1)$ línea elemento describe la Newtoniana de la Gravedad, y por otra parte, que los símbolos $\phi$ son precisamente el potencial Newtoniano de la gravedad, entonces usted podría preguntar: "¿por qué?" Me gustaría dar la siguiente explicación:
El movimiento de caida libre de partículas en una curva el espacio-tiempo es el dado por el siguiente cálculo de la absoluta o intrínsecoderivado: $$p^{b}\nabla_{b}p^{a} = p^{b}(\partial_{b}p^{a} + \Gamma ^{a}_{cb}p^{c})$$ Si se considera el elemento línea de $(1)$ y la no-relativista de velocidades, a continuación, la ecuación de movimiento se reduce a (componentes espaciales): $$p^{b}\nabla_{b}p^{a} = m\frac{d}{d\tau}p^{i} + \Gamma ^{i}_{00}(p^{0})^{2}$$ Que, después de los cálculos se reduce a: $$\frac{dp^{i}}{d\tau} = -m \delta^{ij}\partial _{j}\phi = -m\partial _{i}\phi$$ Ahora, teniendo en cuenta que estamos en un régimen de velocidades bajas, entonces la Ecuación de Newton es válida: $$F^{i} = -m(\nabla \phi_{g})^{i}$$ Entonces, ya que también es válido, por la relatividad especial, que: $$ F^{i} = \frac{dp^{i}}{d\tau}$$ A continuación, $$-m(\nabla \phi_{g})^{i} = \frac{dp^{i}}{d\tau} = -m\partial _{i}\phi$$ Implica que $$\phi = \phi_{g}$$ Y la línea de elemento describe la Newtoniana de la gravedad, de hecho.
Ahora bien, dado una explicación razonable de que $\phi = \phi_{g}$, se podría decir,también, que por el principio de equivalencia $(1)$ también se describe, en un local de la región, una forma relativista de la gravedad.
Pero aquí viene mi duda, yo sé que la desviación geodésica le da el tensor de Riemann, y para la métrica $(1)$ se puede concluir que la cantidad general que codifica la noción de "gravedad como curvatura" es altamente sugerido por el tensor de Ricci ,porque la siguiente expresión da una manera de hablar acerca de los efectos de la marea:
$$a^{\mu}=\frac{D^{2} \delta x^{\mu}}{D\tau^{2}} = R^{\mu}_{\nu \gamma \beta} u^{\nu}u^{\gamma} \delta x^{\beta} \implies a^{i} = -c^{2}R^{i}_{0j0}\delta x^{j} $$
Donde $ a^{\mu}=\frac{D^{2} \delta x^{\mu}}{D\tau^{2}}$ se llama aceleración entre geodesics, dado por la desviación geodésica.
Y ahora, la duda: ¿por Qué los efectos de marea no son locales? Ya podemos describir los efectos de la marea con el elemento línea de $(1)$ por
$$a^{i} = -c^{2}R^{i}_{0j0}\delta x^{j} = -\frac{1}{c^{2}}\partial^{k} \partial_{k}\phi_{g}$$
