Cierre de $\left\{\frac{\tan{n}}{n} | \, n \in \mathbb{N}\right\}$

Question

He intentado buscar en la literatura matemática pero no he podido encontrar nada aparte de la no convergencia de la secuencia.

En pocas palabras:

Definir $\displaystyle A = \left.\left\{\frac{\tan\left(n\right)}{n}\,\right\vert\, n \in \mathbb{N}\right\}.\quad$ Es $\overline{A} = \mathbb{R}$  ?.

Answer 1

Tl;dr (escrito después de la adición): Parece plausible que $A$ contiene puntos de ambos signos con magnitudes arbitrariamente grandes. No está tan claro $A$ es denso fuera de una vecindad de cero.

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Supongamos que $\varepsilon = \left| \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{n}{k} \right|$ es pequeño, por lo que $n$ es casi $k \pi/2$ . Si $k$ está en paz, $\dfrac{\tan n}{n}$ es pequeño. Si $k$ es impar, $\dfrac{\tan n}{n}$ es grande. Teorema de aproximación de Dirichlet nos dice que hay infinitas $n,k$ se empareja con $\varepsilon < \dfrac{1}{k^2}$ .

Aplicando el teorema de aproximación de Dirichlet a $\pi$ y argumentando que este nuevo conjunto de pares es un subconjunto del conjunto de pares anterior, encontramos que hay infinitos pares $k$ . Pero no sabemos si hay infinitos impar $k$ .

Utilizando la primera $50\,000$ convergentes de la fracción continua para $\pi/2$ como $\dfrac{n}{k}$ pares, y trazando $\left( \log_{10} n,\dfrac{\tan n}{n} \right)$ tenemos

y ampliando un poco el eje vertical

parece que hay valores atípicos de gran magnitud y no hay tendencia a colapsar hacia cero, al menos hasta $n$ cerca de $10^{25\,000}$ . (Tenga en cuenta que los valores de $\left| \dfrac{\tan n}{n} \right| <10$ se suprimen para evitar una banda sólida de puntos que oscurezca el eje horizontal).

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Extendiéndose un poco más, a la primera $200\,000$ convergentes... Estos son los únicos puntos de trazado para impar $k$ que es $133\,363$ de los convergentes (por lo que tal vez haya un sesgo significativo hacia impar $k$ s).

Quizá haya un pequeño sesgo que favorezca los valores extremos positivos. No parece que nos quedemos sin nuevos valores extremos. No había necesidad de recortar puntos de pequeña magnitud ya que recortamos incluso $k$ s. No parece que nos quedemos sin impar $k$ s, así que tal vez haya infinitas. La densidad vertical de puntos parece estacionaria como $n$ aumentos. Pero también parece haber muy pocas razones para creer en un eventual relleno de los huecos entre los puntos de gran magnitud.