¿Cuál es el conjunto convexo más pequeño que incluye todas las curvas de unidades suaves?

Question

Intento comprender: ¿existe un conjunto convexo de área más pequeña que pueda colocar dentro de ella cada curva suave con longitud 1 mediante traslación y rotación?

Solo tengo un límite superior$S \leq \frac14+\frac{\pi}{16}$ debido al casco convexo de dos círculos de radio$\frac14$ y el límite inferior simple$S\geq\frac1{4\pi}$.

¿Existe este conjunto y cuál es su longitud?

Answer 1

Esta entrada es la D18, "El gusano problema", en el libro los Problemas sin resolver en la Geometría (Croft, Falconer, y Guy, 1991):

Leo Moser preguntó ¿cuáles son los mínimos de una vivienda confortable para una unidad de "gusano"?

Dan crédito a los más pequeños de la cubierta han descubierto a Gerriets & Poole (en 1973 o 1974), y la describen como una "cierta trunca rombo de área de menos de $0.286$...". Tal vez alguien tendrá un enlace o referencia a la forma particular? Por sus límites, sólo quiero señalar que el casco convexo de un semicírculo de arclength $1$, con un radio de $1/\pi$ y el área de $1/(2\pi)$, da un mejor límite inferior (de $0.159...$).