Considere una función mensurable$h$ del número real al número real. corregir$\delta,\epsilon>0$. Considere el conjunto$E$ de$x \in \Bbb R$ para el cual$\exists y$ st$|x-y|<\delta$ y$|h(y)-h(x)|\geq \epsilon$. ¿Es esto cierto que$E$ está abierto?
Respuesta
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Si no me equivoco el conjunto no será abierta en general. Considere la siguiente función de $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. $$ h(x) = \begin{cases} 1 & \text{ if } x \geq 0\\ 0 &\text{ if } x \leq 0 \land x \in \mathbb{Q} \\ \frac{1}{2} & \text{ otherwise } \end{cases} $$
Deje $\epsilon = \frac{2}{3}$ e $\delta = 1$. En primer lugar tenemos $-\frac{1}{2} \in E$ desde $h\left(-\frac{1}{2}\right) = 0$, por lo que podemos recoger $y$ a $0$ a ha $\left|h\left(-\frac{1}{2}\right) - h(y)\right| = 1 \geq \epsilon$.
Segundo, no negativo número irracional es en $E$. De hecho, vamos a $x < 0$ ser irracional. A continuación,$h(x) = \frac{1}{2}$. Dado cualquier $y$, vamos a tener $|h(x) - h(y)| = \frac{1}{2}$ o $|h(x) - h(y)| = 0$ y ninguno de estos es mayor o igual a $\epsilon = \frac{2}{3}$.
Por lo tanto no hay barrio de $-\frac{1}{2}$ es de $E$, lo $E$ no está abierto.
Por último, la función de $h$ es medible, ya que es una suma de dos funciones características $h = \chi_{A_1} + \frac{1}{2}\chi_{A_2}$ donde los conjuntos de $A_1$ e $A_2$ son $$A_1 = \{ x \in \mathbb{R}\ |\ x \geq 0 \}$$ $$A_2 = \{ x \in \mathbb{R}\ |\ x \leq 0 \land x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\}$$ ambos de los cuales son ejemplos básicos de conjuntos medibles.
Por supuesto, a veces el juego será abierto. Por ejemplo, si la función es constante el conjunto está vacío.
