Encuentra el mínimo del valor$\dfrac{x}{1+y^2}+\dfrac{y}{1+x^2}$

Question

deje que$x,y\ge 0$, y tal$x+y=2$ encuentre el mínimo$$\dfrac{x}{1+y^2}+\dfrac{y}{1+x^2}

Creo que$x=y=1$ es el mínimo del valor$1$, ¿Cómo puedo probar?

Answer 1

Insinuación:

El mínimo es de hecho cuando$x=y=1$. Usando la desigualdad AM-GM o Cauchy Schwarz, es suficiente mostrar$xy^2+yx^2\le 2$.

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Apéndice:

PS

Answer 2

y = 2-x.

Luego enchúfalo en la expresión. Luego usa derivados.

Answer 3

Como parece que obtenemos el mínimo cuando$x = y$, asumiré que$x \ne y$ y veremos qué sucede.

Cuando$x = y = 1$, el valor de $\ dfrac {x} {1 + y ^ 2} + \ dfrac {y} {1 + x ^ 2}$ es$1$.

Luego, si$x+y = 2$ y$x \ne y$,

$\begin{array}\\ \dfrac{x}{1+y^2}+\dfrac{y}{1+x^2}-1 &=\frac{x(1+x^2)+y(1+y^2)-(1+x^2)(1+y^2)}{(1+x^2)(1+y^2)}\\ &=\frac{x+x^3+y+y^3-(1+x^2+y^2+x^2y^2)}{(1+x^2)(1+y^2)}\\ &=\frac{x+y+x^3+y^3-(1+x^2+y^2+x^2y^2)}{(1+x^2)(1+y^2)}\\ &=\frac{2+2(x^2-xy+y^2)-(1+x^2+y^2+x^2y^2)}{(1+x^2)(1+y^2)} \qquad\text{since }x+y = 2\\ &=\frac{1+x^2-2xy+y^2-x^2y^2}{(1+x^2)(1+y^2)}\\ &=\frac{1-x^2y^2+(x-y)^2}{(1+x^2)(1+y^2)}\\ &\gt 0 \qquad\text{since } x \ne y \text{ and }xy < ((x+y)/2)^2 = 1\\ \end {array}$