Grupo fundamental del complemento de una forma ocho.

Question

Que es $\pi_1(\mathbb{R}^3 \setminus (S^1 \vee S^1))$? Yo diría que la deformación del espacio se retrae a una esfera$S^2$ que rodea a los ocho que faltan con dos palos atascados en los dos bucles de los ocho. Esos palos pueden cerrarse para formar un bucle, de modo que el espacio sería homotopy equivalente a$S^1 \vee S^2 \vee S^1$, lo que genera$\mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}$ como grupo fundamental. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Esencialmente tienes razón. Sin embargo (como se indica en los comentarios) usted usa$\wedge$ (que significa producto smash) en lugar de$\vee$ (que significa suma de la cuña). Y también el grupo fundamental de$S^1 \vee S^1$ es$\mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}$ en lugar de$\mathbb{Z} × \mathbb{Z}$ (es decir, suma libre en lugar de producto (que es suma directa al mismo tiempo)).

Así que después de sus ediciones, es correcto.