si suponemos que es falsa, significa que existe un número que no puede ser escrito como la suma de dos números primos. Si un número natural existe, entonces puede ser escrito utilizando un número finito de dígitos
Ah no del todo. Si la prueba de la negación de Goldbach la conjetura es constructiva, y si todos los supuestos de la prueba son constructivas, entonces lo que dices es cierto. La conversión de un no constructiva prueba en un constructiva de la prueba es fácil, sólo tienes que convertir cada no constructiva inferencia paso en un axioma. Pero la conversión de un no constructiva conjunto de axiomas en una constructivo conjunto de axiomas no es trivial. Aquí están algunos ejemplos de lo que tendría que ser cierto para cada supuesto en la prueba para que el resultado sea constructiva:
- Para cada hipótesis de la forma $A \lor B$, debe ser capaz de calcular que de $\{A,~B\}$ es cierto. Como corolario:
- Para cada predicado en la prueba de $P$, en el supuesto de $P(x) \lor \lnot P(x)$ se supone, debe ser capaz de calcular que de $\{P(x),~\lnot P(x)\}$ es cierto
- Cada suposición de la forma $A(x) \implies B(x)$, siempre que $A(x)$ es computable, $B(x)$ también es computable
- Cada asunción de la forma $A(x)$, $A(x)$ debe ser computable
Y no hay más. Incluso 1 suposición podría hacer que el axioma conjunto de no-constructiva. Deje $G(m)$ ser el predicado que tiene al $m$ es menor que 3, impar, o la suma de 2 números primos. ¿Qué pasa si el (dis)prueba de Goldbach la conjetura define un predicado:
$$Q(n) = \forall m > n ~:~ G(m)$$
y de hecho la suposición de $Q(x) \lor \lnot Q(x)$. Se puede escribir un programa de ordenador que, la introducción de $x$, devuelve true si $Q(x)$ y false de lo contrario? Si no, entonces los supuestos no son constructivas (wrt su habilidad de cómputo, que es una consideración aparte, aunque), y entonces no se puede inferir necesariamente que los dígitos de la Goldbach contraejemplo son computables.
