¿Por qué se prefiere ZF a NBG? Es histórico, pero he leído que después de la publicación de la monografía de Gödel, NBG fue más prominente. ¿O es que la razón por la que NBG es rechazada tiene que ver con el forzamiento y todo el trabajo extra que necesita NBG para manejar el forzamiento? Yo sólo he estudiado el forzamiento en ZF y me acaban de decir que NGB no maneja bien el forzamiento, así que ¿cuáles son las principales razones por las que el forzamiento es más trabajo en NBG y cuánto más difícil es en NBG? Como NBG realmente no ofrece nada extra (aparte de ser finitamente axiomatizable), y como el lenguaje NBG puede tratar con clases propias y para mí (y estoy seguro de que la mayoría estaría de acuerdo) que la mayor parte de los teoremas (elementales y avanzados) son mucho más ordenados en NBG. También me parece que NBG es mucho más ordenado para describir la mayoría de las matemáticas, especialmente la teoría de modelos y ramas relacionadas. Así que cualquier comentario será muy apreciado.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No es necesario tratar las clases propias como objetos para demostrar cosas en la teoría de conjuntos. ZF es más simple, así que es la opción preferida. (EDIT: No puedo hablar de si el forzamiento es de alguna manera más simple o más elegante en NBG, pero esta es la primera vez que he oído esa afirmación. En cualquier caso, una prueba en NBG es una prueba en ZF, si sigues, así que no necesitas decir que una prueba en particular es "una prueba NBG").
Para facilitar la discusión sobre cosas que conciernen a las clases propias (como la clase de todos los ordinales), podemos demostrar en ZF que los objetos de una clase propia existen y que tienen alguna propiedad, y luego discutir la clase propia como si fuera un objeto en ZF. Pero se entiende que se podría hacer esto riguroso sin la noción de "clase propia" refiriéndose a la propiedad. También usamos hechos sobre clases propias que podemos demostrar en ZF (de nuevo, sin una definición real de una clase como objeto). NBG simplemente no añade nada útil a ZF que no podamos abstraer en una discusión ZF.
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Creo que esta pregunta ya se ha formulado antes. Pero no puedo encontrar un duplicado.
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ZFC fue favorecida antes de la prueba de Cohen. Tal vez la gente había desarrollado una alergia a los "grandes" conjuntos.
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Parte del razonamiento se encuentra en la respuesta de Andreas Blass a esta pregunta del modus operandi mathoverflow.net/questions/115091/