Conteo, comprobabilidad y coeficientes binomiales.

Question

Si $$P_{2n+2}=\sum_{k=n+2}^{2n+2}{2n+2 \choose k}p^kq^{2n+2-k}$$

y,

$$P_{2n}=\sum_{k=n+1}^{2n}{2n \choose k}p^kq^{2n-k}$$

donde $0<p<q<1$ e $q=1-p$

Demostrar que

$$P_{2n+2}=P_{2n}+{2n \choose n}p^{n+2}q^n-{2n \choose {n+1}}p^{n+1}q^{n+1}$$

$\mathbf {Inspiration:}$ A y B juegan una serie de partidos donde la probabilidad de ganar $\mathit p$ para Un se mantiene a menos de 0.5. Sin embargo, Una tiene que elegir de antemano el total no. de obras de teatro. Para ganar el juego uno debe tener una puntuación de más de la mitad de los juegos . Si el total no. de juegos es para ser, incluso, Cómo muchas obras debe elegir?

$\mathbf {Here}$ $P_{2n}$ e $P_{2n+2}$ representa la probabilidad de ganar el juego en $2n$ e $2n+2$ juegos donde $2n$ se considera el número óptimo de juegos

Answer 1

Consideramos $(p+q)^2P_{2n}$ en lugar de $P_{2n}$ (porque entonces nuestra identidad será homogéneo). A continuación, vamos a comparar simplemente coefficents de monomials $p^kq^{2n+2-k}$ en ambos lados de la identidad.

Tenga en cuenta que (a partir de la igualdad de $p+q=1$) $$ P_{2n}=\sum_{k=n+1}^{2n}{2n \elegir k}p^kq^{2n-k}=\sum_{k=n+1}^{2n}{2n \elegir k}p^kq^{2n-k} (p+q)^2, $$ lo que equivale a $$ \sum_{k=n+1}^{2n}{2n \elegir k}p^kq^{2n-k} (p^2+2pq+q^2)=\sum_{k=n+1}^{2n}{2n \elegir k}p^{k+2}p^{2n-k}+\sum_{k=n+1}^{2n}2{2n \elegir k}p^{k+1}p^{2n-k+1}+\sum_{k=n+1}^{2n}{2n \elegir k}p^{k}p^{2n-k+2}=\sum_{k=n+3}^{2n+2}{2n \elegir k-2}p^{k}p^{2n+2-k}+\sum_{k=n+2}^{2n+1}2{2n \elegir k-1}p^{k}p^{2n+2-k}+\sum_{k=n+1}^{2n}{2n \elegir k}p^{k}p^{2n-k+2}. $$

Por lo tanto, $P_{2n}$es igual a $$ \sum_{k=n+2}^{2n+2}\left({2n \elegir k}+2{2n \elegir k-1}+{2n \elegir k-2}\right)p^kq^{2n+2-k}-\left({2n \elegir n}p^{n+2}p^{n}-{2n \elegir n+1}p^{n+1}q^{n+1}\right). $$

También sabemos que $$ {2n \elegir k}+2{2n \elegir k-1}+{2n \elegir k-2}=\left({2n \elegir k}+{2n \elegir k-1}\right)+\left({2n \elegir k-1}+{2n \elegir k-2}\right)={2n+1 \elegir k}+{2n+1 \elegir k-1}={2n+2 \elegir k}, $$ así obtenemos $$ P_{2n}=\sum_{k=n+2}^{2n+2}{2n+2 \elegir k}p^kq^{2n+2-k}=P_{2n+2}-\left({2n \elegir n}p^{n+2}p^{n}-{2n \elegir n+1}p^{n+1}p^{n+1}\right). $$ Por lo tanto, $$ P_{2n+2}=P_{2n}+{2n \elegir n}p^{n+2}p^{n}-{2n \elegir n+1}p^{n+1}p^{n+1}, $$ como se desee.

Answer 2

La igualdad se reduce a $$ \binom{n 2 n}{n+1} p^{n+1} (1-p)^{n-1} \, _2F_1\left(1,1-n;n+2;\frac{p}{p-1}\right)+\binom{n 2 n}{n} p^{n+2} (1-p)^n-\binom{n 2 n}{n+1} p^{n+1} (1-p)^{n+1}=\binom{2 (n+1)}{n+2} (1-p)^{-n+2 (n+1)-2} p^{n+2} \, _2F_1\left(1,-n;n+3;\frac{p}{p-1}\right) $$ Deje $w=p/(1-p)$, luego el de arriba es $$ \binom{n 2 n}{n+1} \left((w+1)^2 \, _2F_1(1,1-n;n+2;-w)-1\right)+w \binom{n 2 n}{n}=w \binom{2 (n+1)}{n+2} \, _2F_1(1,-n;n+3;-w) $$ Podemos entonces extraer el coeficiente de $w^m$ desde ambos lados para $m \in \{0,\dots,n\}$ a ver que esta igualdad se mantiene.

Answer 3

Olvidar el requisito de que $0<p<q<1$; es innecesario. Así que vamos a $p$ e $q$ ser cualquiera de reales satisfacer $p+q=1$.

También, permítanme extender el escenario un poco:

Definición. Deje $m$ e $n$ ser números enteros tales que $n\geq m\geq0$. A continuación, nos vamos \begin{equation} Q_{n,m}=\sum_{k=m}^{n}\dbinom{n}{k}p^{k}q^{n-k}. \end{equation}

Con esta definición, su $P_{2n}$ es $Q_{2n,n+1}$, mientras que su $P_{2n+2}$es $Q_{2n+2,n+2}$. Por lo tanto, su demanda se convierte en:

Teorema 1. Deje $n$ ser un entero no negativo. A continuación, \begin{equation} Q_{2n+2,n+2}=Q_{2n,n+1}+\dbinom{2n}{n}p^{n+2}q^{n}-\dbinom{2n}{n+1} p^{n+1}q^{n+1}. \end{equation}

Voy a derivar desde el siguiente:

Lema 2. Deje $m$ e $n$ ser números enteros tales que $n\geq m\geq1$. A continuación, \begin{equation} Q_{n,m}=Q_{n-1,m-1}-\dbinom{n-1}{m-1}p^{m-1}q^{n-m+1}. \end{equation}

La prueba del Lema 2. De $n\geq m\geq1$, obtenemos $n-1\geq m-1\geq0$. Ahora, la definición de $Q_{n-1,m-1}$rendimientos \begin{equation} Q_{n-1,m-1}=\sum_{k=m-1}^{n-1}\dbinom{n-1}{k}p^{k}\underbrace{q^{n-1-k} }_{=q^{n-k-1}}=\sum_{k=m-1}^{n-1}\dbinom{n-1}{k}p^{k}q^{n-k-1}. \label{darij1.pf.l2.0} \tag{1} \end{equation}

Pero la definición de $Q_{n,m}$rendimientos \begin{align} Q_{n,m} & =\sum_{k=m}^{n}\underbrace{\dbinom{n}{k}}_{\substack{=\dbinom {n-1}{k-1}+\dbinom{n-1}{k}\\\text{(by the recurrence of the binomial coefficients)}}}p^{k}q^{n-k}=\sum_{k=m}^{n}\left( \dbinom{n-1}{k-1} +\dbinom{n-1}{k}\right) p^{k}q^{n-k}\nonumber\\ & =\sum_{k=m}^{n}\dbinom{n-1}{k-1}p^{k}q^{n-k}+\sum_{k=m}^{n}\dbinom{n-1} {k}p^{k}q^{n-k}\nonumber\\ & =\sum_{k=m-1}^{n-1}\underbrace{\dbinom{n-1}{\left( k+1\right) -1} }_{=\dbinom{n-1}{k}}p^{k+1}\underbrace{q^{n-\left( k+1\right) }} _{=q^{n-k-1}}+\sum_{k=m}^{n}\dbinom{n-1}{k}p^{k}q^{n-k}\nonumber\\ & \qquad\left( \text{here, we have substituted }k+1\text{ for }k\text{ in the first sum}\right) \nonumber\\ & =\sum_{k=m-1}^{n-1}\dbinom{n-1}{k}p^{k+1}q^{n-k-1}+\sum_{k=m}^{n} \dbinom{n-1}{k}p^{k}q^{n-k}. \label{darij1.pf.l2.1} \tag{2} \end{align}

Pero tenemos \begin{equation} \sum_{k=m-1}^{n}\dbinom{n-1}{k}p^{k}q^{n-k}=\sum_{k=m}^{n}\dbinom{n-1}{k} p^{k}q^{n-k}+\dbinom{n-1}{m-1}p^{m-1}q^{n-\left( m-1\right) } \end{equation} y \begin{align*} \sum_{k=m-1}^{n}\dbinom{n-1}{k}p^{k}q^{n-k} & =\sum_{k=m-1}^{n-1}\dbinom {n-1}{k}p^{k}q^{n-k}+\underbrace{\dbinom{n-1}{n}}_{\substack{=0\\\text{(since }n-1\geq0\text{ and }n-1<n\text{)}}}p^{n}q^{n-n}\\ & =\sum_{k=m-1}^{n-1}\dbinom{n-1}{k}p^{k}q^{n-k}. \end{align*} La comparación de estas dos igualdades, obtenemos \begin{equation} \sum_{k=m}^{n}\dbinom{n-1}{k}p^{k}q^{n-k}+\dbinom{n-1}{m-1}p^{m-1}q^{n-\left( m-1\right) }=\sum_{k=m-1}^{n-1}\dbinom{n-1}{k}p^{k}q^{n-k}. \end{equation} Por lo tanto, \begin{equation} \sum_{k=m}^{n}\dbinom{n-1}{k}p^{k}q^{n-k}=\sum_{k=m-1}^{n-1}\dbinom{n-1} {k}p^{k}q^{n-k}-\dbinom{n-1}{m-1}p^{m-1}q^{n-\left( m-1\right) }. \end{equation} Por lo tanto, \eqref{darij1.pf.l2.1} se convierte en \begin{align*} Q_{n,m} & =\sum_{k=m-1}^{n-1}\dbinom{n-1}{k}p^{k+1}q^{n-k-1}+\underbrace{\sum _{k=m}^{n}\dbinom{n-1}{k}p^{k}q^{n-k}}_{=\sum_{k=m-1}^{n-1}\dbinom{n-1} {k}p^{k}q^{n-k}-\dbinom{n-1}{m-1}p^{m-1}q^{n-\left( m-1\right) }}\\ & =\underbrace{\sum_{k=m-1}^{n-1}\dbinom{n-1}{k}p^{k+1}q^{n-k-1}+\sum _{k=m-1}^{n-1}\dbinom{n-1}{k}p^{k}q^{n-k}}_{=\sum_{k=m-1}^{n-1}\dbinom{n-1} {k}\left( p^{k+1}q^{n-k-1}+p^{k}q^{n-k}\right) }-\dbinom{n-1}{m-1} p^{m-1}\underbrace{q^{n-\left( m-1\right) }}_{=q^{n-m+1}}\\ & =\sum_{k=m-1}^{n-1}\dbinom{n-1}{k}\left( \underbrace{p^{k+1}}_{=pp^{k} }q^{n-k-1}+p^{k}\underbrace{q^{n-k}}_{=qq^{n-k-1}}\right) -\dbinom{n-1} {m-1}p^{m-1}q^{n-m+1}\\ & =\sum_{k=m-1}^{n-1}\dbinom{n-1}{k}\underbrace{\left( pp^{k}q^{n-k-1} +p^{k}qq^{n-k-1}\right) }_{\substack{=\left( p+q\right) p^{k} q^{n-k-1}=p^{k}q^{n-k-1}\\\text{(since }p+q=1\text{)}}}-\dbinom{n-1} {m-1}p^{m-1}q^{n-m+1}\\ & =\underbrace{\sum_{k=m-1}^{n-1}\dbinom{n-1}{k}p^{k}q^{n-k-1}} _{\substack{=Q_{n-1,m-1}\\\text{(by \eqref{darij1.pf.l2.0})}}}-\dbinom {n-1}{m-1}p^{m-1}q^{n-m+1}\\ & =Q_{n-1,m-1}-\dbinom{n-1}{m-1}p^{m-1}q^{n-m+1}. \end{align*} Esto demuestra Lema 2. $\blacksquare$

La prueba del Teorema 1. Tenemos $\left( 1-q-pq\right) -p^{2}=-\left( p+1\right) \underbrace{\left( p+q-1\right) }_{\substack{=0\\\text{(desde }p+q=1\text{)}}}=0$, thus $1-q-pq=p^{2}$.

Lema 2 (aplicado a $2n+2$ e $n+2$ en lugar de $n$ e $m$) de los rendimientos de \begin{align} Q_{2n+2,n+2} & =\underbrace{Q_{2n+1,n+1}}_{\substack{=Q_{2n,n}-\dbinom{2n} {n}p^{n}q^{\left( 2n+1\right) -\left( n+1\right) +1}\\\text{(by Lemma 2, applied to }2n+1\text{ and }n+1\\\text{instead of }n\text{ and }m\text{)} }}-\underbrace{\dbinom{2n+1}{n+1}}_{\substack{=\dbinom{2n}{n}+\dbinom{2n} {n+1}\\\text{(by the recurrence of the binomial coefficients)}}}p^{n+1} \underbrace{q^{\left( 2n+2\right) -\left( n+2\right) +1}}_{=q^{n+1} }\nonumber\\ & =Q_{2n,n}-\dbinom{2n}{n}p^{n}\underbrace{q^{\left( 2n+1\right) -\left( n+1\right) +1}}_{=q^{n+1}}-\underbrace{\left( \dbinom{2n}{n}+\dbinom {2n}{n+1}\right) p^{n+1}q^{n+1}}_{=\dbinom{2n}{n}p^{n+1}q^{n+1}+\dbinom {2n}{n+1}p^{n+1}q^{n+1}}\nonumber\\ & =Q_{2n,n}-\dbinom{2n}{n}p^{n}q^{n+1}-\left( \dbinom{2n}{n}p^{n+1} q^{n+1}+\dbinom{2n}{n+1}p^{n+1}q^{n+1}\right) \nonumber\\ & =Q_{2n,n}-\dbinom{2n}{n}p^{n}q^{n+1}-\dbinom{2n}{n}p^{n+1}q^{n+1} -\dbinom{2n}{n+1}p^{n+1}q^{n+1}. \label{darij1.pf.t1.1} \tag{3} \end{align} Pero la definición de $Q_{2n,n+1}$ rendimientos $Q_{2n,n+1}=\sum_{k=n+1}^{2n} \dbinom{2n}{k}p^{k}p^{2n-k}$. Meanwhile, the definition of $Q_{2n,n}$rendimientos \begin{align*} Q_{2n,n} & =\sum_{k=n}^{2n}\dbinom{2n}{k}p^{k}q^{2n-k}=\underbrace{\sum _{k=n+1}^{2n}\dbinom{2n}{k}p^{k}q^{2n-k}}_{=Q_{2n,n+1}}+\dbinom{2n}{n} p^{n}\underbrace{q^{2n-n}}_{=q^{n}}\\ & =Q_{2n,n+1}+\dbinom{2n}{n}p^{n}q^{n}. \end{align*} Por lo tanto, \eqref{darij1.pf.t1.1} se convierte en \begin{align*} Q_{2n+2,n+2} & =\underbrace{Q_{2n,n}}_{=Q_{2n,n+1}+\dbinom{2n}{n}p^{n}q^{n} }-\dbinom{2n}{n}p^{n}q^{n+1}-\dbinom{2n}{n}p^{n+1}q^{n+1}-\dbinom{2n} {n+1}p^{n+1}q^{n+1}\\ & =Q_{2n,n+1}+\dbinom{2n}{n}p^{n}q^{n}-\dbinom{2n}{n}p^{n}q^{n+1}-\dbinom {2n}{n}p^{n+1}q^{n+1}-\dbinom{2n}{n+1}p^{n+1}q^{n+1}\\ & =Q_{2n,n+1}+\dbinom{2n}{n}\underbrace{\left( p^{n}q^{n}-p^{n} q^{n+1}-p^{n+1}q^{n+1}\right) }_{=\left( 1-q-pq\right) p^{n}q^{n}} -\dbinom{2n}{n+1}p^{n+1}q^{n+1}\\ & =Q_{2n,n+1}+\dbinom{2n}{n}\underbrace{\left( 1-q-pq\right) }_{=p^{2}} p^{n}q^{n}-\dbinom{2n}{n+1}p^{n+1}q^{n+1}\\ & =Q_{2n,n+1}+\dbinom{2n}{n}\underbrace{p^{2}p^{n}}_{=p^{n+2}}q^{n} -\dbinom{2n}{n+1}p^{n+1}q^{n+1}\\ & =Q_{2n,n+1}+\dbinom{2n}{n}p^{n+2}q^{n}-\dbinom{2n}{n+1}p^{n+1}q^{n+1}. \end{align*} Esto demuestra el Teorema 1. $\blacksquare$

Answer 4

Tenemos por primera suma

$$S = \sum_{k=0}^n {2n+2\choose k+n+2} p^{k+n+2} q^{n-k}$$

y para el segundo

$$T = \sum_{k=0}^{n-1} {2n\choose k+n+1} p^{k+n+1} q^{n-1-k}$$

y tratar de

$$S-T = {2n\elegir n} p^{n+2} p^n - {2n\elegir n+1} p^{n+1} p^{n+1}$$

donde $p+q=1.$ vemos que con

$$Q_n = \sum_{k=0}^n {2n+2\choose k+n+2} p^{k+n+2} q^{n-k}$$

la demanda se convierte en

$$Q_n - Q_{n-1} = {2n\elegir n} p^{n+2} p^n - {2n\elegir n+1} p^{n+1} p^{n+1}.$$

Ahora

$$Q_n = p^{n+2} p^n \sum_{k=0}^n {2n+2\elegir k+n+2} p^{k} p^{-k} = p^{n+2} p^n \sum_{k=0}^n {2n+2\elegir n-k} p^{k} p^{-k} \\ = p^{n+2} p^n \sum_{k=0}^n p^{k} p^{-k} [z^{n-k}] (1+z)^{2n+2} = p^{n+2} p^n [z^n] (1+z)^{2n+2} \sum_{k=0}^n p^{k} p^{-k} z^k.$$

Podemos extender $k$ más allá de $n$ debido a que el coeficiente de extrator $[z^n]$ en el frente:

$$p^{n+2} p^n [z^n] (1+z)^{2n+2} \sum_{k\ge 0} p^{k} p^{-k} z^k = p^{n+2} p^n [z^n] (1+z)^{2n+2} \frac{1}{1-pz/q} \\ = p^2 [z^n] (1+pqz)^{2n+2} \frac{1}{1-p^2z}.$$

Por lo tanto, tienen

$$Q_{n-1} = p^2 [z^{n-1}] (1+pqz)^{2n} \frac{1}{1-p^2z} \\ = p^2 [z^n] z (1+pqz)^{2n} \frac{1}{1-p^2z}.$$

Restando encontramos

$$Q_n - Q_{n-1} = p^2 [z^n] ((1+pqz)^2-z) (1+pqz)^{2n} \frac{1}{1-p^2z} \\ = p^2 [z^n] (1-p^2 z) (1-p^2 z) (1+pqz)^{2n} \frac{1}{1-p^2z} \\ = p^2 [z^n] (1-p^2 z) (1+pqz)^{2n} \\ = p^2 [z^n] (1+pqz)^{2n} - p^2 [z^n] q^2 z (1+pqz)^{2n} \\ = p^2 p^n q^n {2n\elegir n} - p^2 q^2 [z^{n-1}] (1+pqz)^{2n} \\ = p^{n+2} p^n {2n\elegir n} - p^2 q^2 p^{n-1} p^{n-1} {2n\elegir n-1}.$$

Este es, de hecho,

$$\bbox[5px,border:2px solid #00A000]{ p^{n+2} p^n {2n\elegir n} - p^{n+1} p^{n+1} {2n\elegir n+1}}$$

como se reivindica.

Observación. Podría ser más simple de no combinar el $p^n q^n$ en el coeficiente de extractor. Más comentarios de TBA.