Problema relacionado con las integrales y las densidades de probabilidad.

Question

Supongamos que $X_1, X_2$ son variables aleatorias independientes, con el mismo soporte $[0,1]$ en el mismo espacio de probabilidad con densidades $f_1,f_2$ respectivamente.

Por apoyo Quiero decir.., $f_i$ son $0$ fuera de $[0,1]$ .

1. Tenemos que $$ \int_ {x} f_1(x)f_2(z-x) \,dx = \int_ {x} g_1(x)g_2(z-x) \,dx$$ para todos $z \in [0,2]$ y $g_i(y) = f_i(1-y)$ para ambos $i=\{1,2\}$ .

2. También tenemos que $$ f_i(x) \leq f_i(1-x), \forall x \in [0.5,1]$$ para ambos $i=\{1,2\}$ .

Quiero concluir que $$ f_1(x)f_2(z-x) = f_1(1-x)f_2(1-(z-x)) $$ para algunos $z$ .

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Mi intento:

Reescribir (1) como $$ \int_ {x} (f_1(1-x)f_2(1-(z-x)) - f_1(x)f_2(z-x)) \,dx = 0. \quad (*)$$ Para $z=1.5$ ya que podemos restringir nuestro interés a $0 \leq z-x \leq 1$ tendremos ambos $x$ y $(z-x)$ excediendo $0.5$ . Ahora desde (2) tendremos $$ f_1(x) \leq f_1(1-x) ~ \text {and} \\ f_2(z-x) \leq f_2(1-(z-x)).$$ Así que $$f_1(1-x)f_2(1-(z-x)) - f_1(x)f_2(z-x) \geq 0.$$ Con $(*)$ podemos de hecho concluir $$ f_1(x)f_2(z-x) = f_1(1-x)f_2(1-(z-x)).$$

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Ahora bien, si la conclusión anterior se mantiene, ¿podemos decir más? Es decir, de (2) quiero concluir que $$ f_1(x) = f_1(1-x) $$ y $$f_2(z-x) =f_2(1-(z-x))$$ para algunos $z$ .

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Por favor, comente las dos conclusiones anteriores que he hecho. ¡Gracias de antemano por cualquier ayuda! Por favor, siéntase libre de hacer cualquier otra conclusión de estos hechos también, sería interesante conocerlos.

Answer 1

En (1) ambos lados están de hecho $0$ . el conjunto $\{(x_1,x_2):x_1+x_2=z\}$ es un Nullset en $ \mathbb {R}^2$ (w.r.t. Lebeguesmeasure), ya que es el gráfico de la función continua $x_1 \to z-x_1$ . Por lo tanto, (1) no tiene sentido y la única suposición que queda es $f_i(x) \le f_i(1-x)$ para $x \ge 0.5$ . Ahora puede encontrar contraejemplos para ambas conclusiones (p.e. $f_1(x)=f_2(x)=0.5x$ es un contraejemplo para la conclusión 2).