Son diferentes debido a la homomorphism condiciones son completamente diferentes:
Para un módulo de homomorphism de $R$ en $R$, $f(r)=f(1)r$
pero para un anillo homomorphism, $f(r)=f(r)f(1)$.
Esto es especialmente informativo cuando (como de costumbre) $f(1)$ es la identidad de $R$: es sólo una tautología.
En el primer caso, a sabiendas de $f(1)$ dice que todos los $f(r)$, pero en el segundo caso, usted todavía está atascado preguntando lo $f(r)$ es. Ser un multiplicativo mapa y ser y ser $R$ lineal son muy diferentes.
Tal vez una más esclarecedor manera de pensar de anillo y el módulo homomorphisms es pensar acerca de sus núcleos. Los granos de anillo homomorphisms tienen que ser dos caras ideales, pero los granos de módulo homomorphisms sólo necesita ser de un solo lado.
El factor que complica la situación aquí para usted, parece, es que el módulo de la multiplicación y el anillo de la multiplicación de partido para el módulo de $R_R$. Ya que tienen el mismo multiplicación, usted podría estar tentado a pensar que tiene "la misma estructura".
Sin embargo, esto simplemente no es el caso, porque morfismos están íntimamente ligados con la estructura. Si usted nunca ha oído hablar de una categoría de antes, aquí es un resumen aproximado. Una categoría se compone de un montón de objetos que están hablando, junto con morfismos entre ellos.
Así que hay una categoría de grupos (cuyos objetos son los grupos y cuyos morfismos son un grupo homomrphisms) y hay una categoría de los anillos (cuyos objetos son los anillos y cuyos morfismos son anillo homomorphisms.) También existe una categoría de $R$ módulos (cuyos objetos están a la derecha de $R$ módulos y morfismos son $R$ módulo homomorphisms.) Probablemente no hay ninguna duda en su mente de que la categoría de anillos y $R$ módulos son diferentes, pero aquí estamos tratando de averiguar cómo $R$ puede ser un objeto en la categoría de anillos y la categoría de $R$ módulos sin "tener la misma estructura".
Desde morfismos son importantes, sus núcleos se convierten en importantes substructres de cada objeto. En los anillos, estos núcleos son ideales, en los módulos, estos núcleos son submódulos. Ahora, en el caso de $R_R$, un derecho submódulo pasa a ser llamado un derecho ideal, debido a la semejanza con el ser "mitad" el ideal de los axiomas.
Es fácil pensar en un anillo de $R$ que tiene muy diferentes ideales y derecho submódulo estructuras. Si usted toma la matriz de anillo de $M_n(F)$ sobre un campo $F$, entonces sabemos que sólo hay dos ideales, y por ello la única anillo homomorphisms de partida en $R$ son cero homorphism, o son inyectiva.
Pero el mismo no puede ser dicho sobre el módulo de $R_R$, ya que tiene un montón de derecho $R$ submódulos. Los más fáciles de describir son las matrices que son cero fuera de una fila fija. De hecho, si $F$ es infinito, hay infinitamente muchos distintas derecho ideales.
Así que espero que al mostrar cómo las diferentes subestructuras puede ser le ayudará a ver por qué no se realmente tienen "la misma estructura". Debido a que los morfismos son diferentes, las estructuras son diferentes.
