de problemas,

Question

Para investigar la convergencia de una serie que tengo que resolver el folliwing límite:

\begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{(x^2-1) \sqrt{x + 2}-x^2\sqrt{x+1}}{x\sqrt{x + 1}} \end{equation}

Debe ser $\frac{1}{2}$ pero yo no puedo parecer para llegar a esa solución. He intentado el factor de la raíz cuadrada de un cociente, que fue:

\begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow\infty} \sqrt{\frac{((x^2-1) \sqrt{x + 2}-x^2\sqrt{x+1})^2}{x^2(x + 1)}} \end{equation}

Entonces yo trabajaba fuera de la plaza en el numerador de la cual fue:

\begin{equation} (x^2-1)^2 (x + 2)-2x^2(x^2-1)\sqrt{x+1}\sqrt{x+2}+x^4(x+1) \end{equation}

Entonces yo podría factor de los términos y tomar y dividir el numerador con el (x+1) en el denominador. Entonces yo podría ampliar los términos en el numerador que se convirtió en:

\begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{(x^4+x^3-3x^2-x+2)-\sqrt{16x^8+32x^7-12x^6-20x^5+8x^4}+x^4}{x^2}} \end{equation}

Ahora puedo tomar el $16x^8$ fuera de la raíz y, a continuación, luego me miró a los términos con el más alto exponente de modo que tuve:

\begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{x^4-4x^4+x^4}{x^2}} =\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{-2x^2}{x^2}} \end{equation}

Que sólo podría ser resuelta con números complejos, por lo que debo estar equivocado en algún lugar en mis cálculos, ya sé que debo conseguir $\frac{1}{2}$. También comprobé mi sollution con WolframAlpha, que también dio $\frac{1}{2}$ , así que yo sé que el sollution que tengo es la correcta.

Alguien sabe de donde yo estaba mal o cómo se podría resolver mejor de ti?

Answer 1

PS

Este último va a $$\lim_{x\to\infty}\frac{(x^2-1)\sqrt{x+2}-x^2\sqrt{x+1}}{x\sqrt{x+1}}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2\big[\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}\big]}{x\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x+2}}{x\sqrt{x+1}}$ desde $0$ $

Te quedas con $$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+2}}{x\sqrt{x+1}}=\lim_{x\to\infty}\frac1x\cdot\sqrt{\frac{x+2}{x+1}}=\lim_{x\to\infty}\frac1x\cdot\sqrt{1+\frac1{x+1}}=0$ $

Answer 2

Otra forma: \begin{eqnarray*} \frac{(x^2-1) \sqrt{x + 2}-x^2\sqrt{x+1}}{x\sqrt{x + 1}} & = & \frac{(x-1)(x+1) \sqrt{x + 2}-x^2\sqrt{x+1}}{x\sqrt{x + 1}} \\ & = & \frac{(x-1)\sqrt{(x+1)(x + 2)}-x^2}{x} \\ & \stackrel{x^2 = x(x-1)+x}{=} & \underbrace{\frac{x-1}{x}}_{\stackrel{x \to +\infty}{\longrightarrow}1}\underbrace{\left(\sqrt{(x+1)(x + 2)} - x\right)}_{= \frac{3x+2}{\sqrt{(x+1)(x + 2)} + x}\stackrel{x \to +\infty}{\longrightarrow}\frac{3}{2}} - 1 \\ & \stackrel{x \to +\infty}{\longrightarrow} & 1 \cdot \frac{3}{2} -1 = \frac{1}{2} \end {eqnarray *}