¿Prueba de esta integral definida?

Question

Vi esto alguna vez en mi libro de cálculo, de la lista de desafíos matemáticos de Putnam:

$$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \underbrace{\dots}_{n-3 \, times} \int _{ 0 }^{ 1 }{ \cos ^{2} { \left\{ \frac { \pi }{ 2n } \left({x}_{1}+{ x }_{ 2 }+\dots +{ x }_{ n }\right)\right\} \quad { dx }_{ 1 }{ dx }_{ 2 }\cdots { dx }_{ n } } } } } = \dfrac{1}{2} } $$

¡Gracias a quien pueda ayudarme a entender esto! : )

Answer 1

Utilizando la transformación $y_1 = 1 - x_1, y_2 = 1 - x_2,\ldots, y_n= 1 - x_n$ su integral se convierte en

$$\int_0^1\cdots \int_0^1 \cos^2\left\{\frac{\pi}{2n}(n - y_1 - \cdots - y_n)\right\}\, dy_1\ldots dy_n,$$

que es lo mismo que

$$\int_0^1\cdots \int_0^1 \sin^2\left\{\frac{\pi}{2n}(y_1+\cdots + y_n)\right\}\, dy_1\ldots dy_n.$$

Así que su integral es igual a

$$\frac{1}{2}\int_0^1\cdots \int_0^1 \left[\cos^2\left\{\frac{\pi}{2n}(x_1 + \cdots + x_n)\right\} + \sin^2\left\{\frac{\pi}{2n}(x_1 + \cdots + x_n)\right\}\right]\, dx_1\cdots dx_n,$$

que se reduce a $1/2$ . Por eso el límite es $1/2$ .

Answer 2

$$ \cos^2\left(\frac{\pi}{2n}\sum_{i=0}^nx_i\right) = \frac{\cos \left(\frac{\pi}{n}\sum_{i=0}^nx_i\right)+1}{2} = \frac{\cos \left(\frac{\pi}{n}\sum_{i=0}^nx_i\right)}{2} + \frac{1}{2} $$

así $$ \lim_{n\to \infty}\int_0^1..\int_0^1\frac{\cos \left(\frac{\pi}{n}\sum_{i=0}^nx_i\right)}{2} + \frac{1}{2}dx_1..dx_n = \lim_{n\to \infty}\int_{x_1..x_n}\frac{\cos \left(\frac{\pi}{n}\sum_{i=0}^nx_i\right)}{2}dx_1..dx_n + \lim_{n\to \infty}\int_0^1..\int_0^1\frac{1}{2}dx_1..dx_n $$ entonces $$ \cos \left(\frac{\pi}{n}\sum_{i=0}^nx_i\right) = \mathcal{Re}\left(\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{n}\sum_{i=0}^nx_i}\right) = \mathcal{Re}\left(\prod_{k=0}^{n}\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{n}x_i}\right) $$ por lo que la integral $$ \int_{x_1..x_n}\frac{\cos \left(\frac{\pi}{n}\sum_{i=0}^nx_i\right)}{2}dx_1..dx_n = \int_{x_1..x_n}\mathcal{Re}\left(\prod_{k=0}^{n}\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{n}x_i}\right)dx_1..dx_n = \mathcal{Re}\left[\int_0^1\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{n}x_1}dx_1..\int_0^1\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{n}x_n}dx_n\right] $$ donde tenemos $$ \int_0^1\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{n}x_n}dx_n = -i\frac{n}{\pi}\left[\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{n}}-1\right]\\ \lim_{n\to\infty}-i\frac{n}{\pi}\left[\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{n}}-1\right] = -i\frac{n}{\pi}\left[\mathrm{e}^{0}-1\right] = 0 $$ (nota este límite debe ser probado con más rigor, he asumido que la exponencial tiende a uno más rápido que $n\to \infty$ )

por lo que el único no-cero es la integral $$ \lim_{n\to \infty}\int_0^1..\int_0^1\frac{1}{2}dx_1..dx_n = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{2}\int_0^1dx_1..\int_0^1 dx_n = \frac{1}{2}1\cdot1...\cdot 1 = \frac{1}{2} $$

Answer 3

No estoy convencido de que lo siguiente sea correcto. Sin embargo, ¿por qué no

$$s_1 = \frac 1n (x_1 + \dots + x_n), s_2 = x_2, \dots, s_n = x_n$$ ?

La integral se convierte en

$$\int_0^1 \int_0^1 \dots \int_0^1 \cos^2(\pi s_1 / 2)\cdot \frac 1n \ \ \ ds_1 \dots ds_n = \frac 12$$

Así que parece ser cierto siempre no sólo como $n \to \infty$