Creo que lo estoy pensando demasiado, pero quiero estar seguro al 100%.
Un Número Real es cualquier número, ¿correcto? Ya sea un número entero u otra cosa.
Es el conjunto $\mathbb R$ de $(-\infty, +\infty)$ ¿correcto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Una forma habitual de considerar los números reales como el conjunto de todos los puntos de la recta numérica comprendidos entre $-\infty$ y $+\infty$ incluidos los números irracionales (como $\sqrt{2}$ ) y los números trascendentales (como $\pi$ y $e$ ).
Para la mayoría de la gente esto es totalmente suficiente, aunque en realidad esto no se acerca a decirle lo que son y es circular de todos modos (¿cómo se define la recta numérica..?)
Quizás una forma más esclarecedora de pensar en los números reales sea como los números racionales (es decir, los números de la forma $p/q$ para $p,q$ enteros y $q\neq 0$ ) con todos los "huecos" rellenados. De hecho, esa es la descripción profana de una de las maneras formales de especificar los números reales -- como el finalización de los racionales.
Cuando decimos que los racionales no son completos, queremos decir que hay secuencias de números racionales que convergen (se acercan cada vez más) a un número que no es racional. La sucesión
$$\frac{1}{1}, \frac{14}{10}, \frac{141}{100}, \frac{1414}{1000}, \dots$$
es un ejemplo de tal secuencia -- cada número en la secuencia es racional, pero el límite es el número irracional $\sqrt{2}$ .
Esto no puede ocurrir con los números reales, porque "se rellenan todos los huecos". Toda secuencia de números reales que converge está garantizada que converge a un número real.
sewo
Puntos
58
Sí, los números enteros y las fracciones son números reales, al igual que las cosas que no pueden expresarse como fracciones como $\sqrt 2$ y $\pi$ . Es decir, los números reales significan todo el línea numérica . Por otra parte, $\infty$ y $-\infty$ no son números reales.
La razón por la que se denominan "números reales" y no simplemente "números" es que las matemáticas superiores trabajan también con otros tipos de cosas que llamamos "números", pero que no corresponden a puntos de la recta numérica. Puedes ignorar esto hasta que necesites aprender sobre números complejos (o transfinito números ordinales o números cardinales o números p-ádicos o lo que sea).
Jonathan Ringstad
Puntos
1
CJ Forex
Puntos
81
Se puede pensar en el conjunto de los números reales como el conjunto de todos los números racionales cerrados bajo la toma de los límites de las secuencias de Cauchy, es decir, todos los números racionales más todos los límites de las secuencias de Cauchy que se pueden construir en el conjunto.
Sin embargo, no todos los números pertenecen al conjunto de los números reales, véase http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number .
