¿Cuál es el valor máximo de$a + b + c$, dado$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{5}$

Question

¿Cuál es el máximo valor de $a + b + c$ donde $a, b, c\in \mathbb{Z}$, y $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{5} $$

Nota: yo podría resolver la cuestión de si la pregunta es "mínimo" en lugar de "máximo". La respuesta se calcula de la 45 con la media aritmética - media armónica de la desigualdad, donde todos los $a, b, c$ es igual a 15, y que sería el valor mínimo de $a+b+c$. Sin embargo, la pregunta se pide el valor máximo. Yo podría encontrar otras soluciones válidas, tales como $a=6$, $b=31$, $c=930$, dar la suma igual a 967. No puedo probar si cualquier mayor entero que existen soluciones o no.

Answer 1

Carente de visión, lo que sigue es puramente mecánico enfoque. Vamos a mostrar que hay sólo un número finito de posibilidades para $a,b,c$. No vamos a asumir que todos ellos son positivos.

De tomar cualquier solución, de ordenación de manera que $|a|≤|b|≤|c|$. Hacemos la observación de que $$\frac 15=\big \vert \frac 1a+\frac 1b+\frac 1c\big \vert≤ \frac 1{|a|}+\frac 1{|b|}+\frac 1{|c|}≤\frac 3{|a|}\implies |a|≤15$$

Por lo tanto, hay sólo un número finito de valores posibles para $a$.

Revisión de una selección de $a$. Ahora tenemos $\frac 1b+\frac 1c=\frac 15-\frac 1a$ y un argumento similar muestra que hay sólo un número finito de opciones para $b$. Como $a,b$ determinar $c$ hemos terminado.

Nota: yo hice la búsqueda a través del ordenador y parece que el OP tiene la solución óptima en $(6,31,930)$. Sin embargo yo recomiendo la comprobación de esto más detenidamente de lo que he hecho.