¿Por qué las matrices no cuadradas no son invertibles?

Question

Tengo una pregunta teórica. ¿Por qué las matrices no cuadradas no son invertibles?

Me estoy encontrando con muchas dudas como esta en mi estudio introductorio del álgebra lineal.

Answer 1

Consideremos la ecuación AX = B, dimensiones para A - m*n, X - n*1 y B - m*1. B puede ser cualquier vector en el espacio Rm. Para que AX tenga siempre solución, A debe contener vectores columna que constituyan el espacio Rm completo (hay n vectores de este tipo de m dimensiones).

Para m > n, no podemos abarcar un espacio tridimensional completo con sólo 2 vectores de tamaño 3*1.

Para m < n, significa que tenemos más variables que las propias ecuaciones, no es posible encontrar una solución en este caso

Para m = n, las cosas encajan perfectamente para que AX tenga siempre una solución (dado que los vectores columna son independientes)

Ahora bien, por qué la inversa de una matriz tiene algo que ver con AX = B, cuando AX=B siempre tiene solución y los vectores columna en A abarcan el espacio completo, X puede presentarse como X = $A^{-1 }$ B. La inversa sólo entra en discusión cuando se cumplen las condiciones previas, y esto sólo puede ocurrir cuando m=n y los vectores columna de A son independientes. A la inversa, cuando se toma la transposición en ambos lados la solución tiene que seguir manteniéndose en ese caso los vectores fila también tienen que ser independientes.

Nota: Para las matrices singulares, como los vectores columna son dependientes, AX=B no tiene solución para todo B. El sistema se vuelve inconsistente y X no puede representarse con $A^{-1 }$