Espectro de matriz con una sola fila escalada

Question

Sea $M$ sea una matriz real simétrica positiva-definida y $D_a$ la matriz diagonal $$D_a = \left[\begin{array}{ccccc}a & & & &\\& 1 & & &\\& & 1 & &\\& & & \ddots &\\& & & & 1\end{array}\right].$$

Si los vectores y valores propios de $M$ se conocen, ¿puede decirse algo sobre el espectro de $D_a M$ sin volver a calcular su descomposición espectral?

Answer 1

En definitiva, podemos decir que los valores propios de $D_aM$ se acercan a las de $M$ como $a$ se acerca a $1$ . Pero creo que difícilmente se puede esperar algo más que eso. Por ejemplo, la matriz $$M=\begin{pmatrix}0&0&0&a\\1&0&0&b\\0&1&0&c\\0&0&1&d\\\end{pmatrix}$$ tiene un polinomio característico $g(t)=t^4+at^3+bt^2+ct+d$ mientras se escala la primera columna de $M$ por $h$ resulta la matriz con polinomio característico $g_h(t)=t^4+aht^3+bt^2+ct+d$ . No parece haber una relación más profunda entre las raíces de $g$ y $g_h$ que son cerrar suficiente si $h\rightarrow1$ .

La situación con los vectores propios puede ser aún más complicada, por ejemplo, la matriz $\left(\begin{smallmatrix}a&-1\\a&-1\end{smallmatrix}\right)$ tiene un único vector propio si $a=1$ y un par de ellos en caso contrario.

Answer 2

1. En general, $D_aM=D_aM^{1/2}M^{1/2}$ tiene los mismos valores propios que $M^{1/2}D_aM^{1/2}$ . Por lo tanto, su firma es $(n,0,0)$ si $a>0$ , $(n-1,1,0)$ si $a<0$ y $(n-1,0,1)$ si $a=0$ .

2. Ahora suponemos que $a-1$ es pequeño. Sea $\chi(x,a)$ sea el polinomio charac. de $D_aM$ , $(\lambda_i)_i$ (resp $(\mu_i)_i)$ son los valores propios (positivos) de $M$ (resp. $D_aM$ ). Obsérvese que $\chi(x,a)=\det(xI-M)+(a-1)\det(xI-M-xE_{1,1})$ donde $E_{1,1}$ es la matriz cuyas entradas son $0$ excepto uno de índice $(1,1)$ que es $1$ . Ante todo, suponemos que los valores propios de $M$ son simples (entonces el $(\mu_i)_i$ son funciones analíticas reales de $a$ ). Entonces $\dfrac{dx}{da}=-\dfrac{\dfrac{\partial\chi}{\partial a}}{\dfrac{\partial\chi}{\partial x}}$ y que $\rho_i=\dfrac{dx}{da}_{a=1,x=\lambda_i}$ (tenga en cuenta que $\dfrac{\partial\chi}{\partial a}$ es constante). Por último $\mu_i\approx \lambda_i+(a-1)\rho_i$ .

Answer 3

Multiplicar con $D_a$ de la izquierda hace una chamusquina operación elemental de fila en $M$ . Más específicos $D_aM$ es diferente de $M$ sólo en la primera fila, y si denoto la primera fila con el índice 1, entonces si $M$ tiene la primera fila $M_1$ entonces $D_aM$ tiene $aM_1$ . Esta propiedad procede de la construcción de multiplicación de matrices . Más información sobre las operaciones elementales con filas aquí y aquí .

En general, las operaciones elementales de fila no preservarán los valores propios. Hay situaciones especiales, por ejemplo si se obtiene un matriz similar $B$ con operaciones de fila de $A$ por lo que se obtiene $A \sim B$ . En este caso, los valores propios son los mismos, pero no los vectores propios. Pero en el caso general las operaciones de fila pueden cambiar completamente los valores propios. Puede encontrar ejemplos aquí . Debido a que para tamaños pequeños obtenemos los valores propios de los determinantes en general, se puede encontrar resultados en este tema aquí . También este artículo podría ser interesante, pero está un poco lejos de aquí.

En tu caso especial sólo puedes obtener resultados si $M$ tiene una propiedad que puedes manejar. Por ejemplo, si $M$ es un matriz triangular entonces uno de sus $\lambda$ el valor propio cambia a $a \lambda$ . Hay otros clases de matriz que se puede tratar con trucos algebraicos, pero en general creo que no se puede decir nada sobre estas matemáticas.