¿Es ésta una forma válida de mostrar que una secuencia no se divide?

Question

Suponga que tiene $$ 0\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\to 0 $$ considerados como grupos aditivos. Sea $i$ sea la inclusión de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Q}$ . Quiero decir que esto no es una secuencia dividida, ya que no hay retracción $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Z}$ tal que $f\circ i=id_\mathbb{Z}$ . Si lo hubiera, entonces $f(n)=n$ para todos los enteros $n$ . Entonces $$ nf(1/n)=f(1/n)\cdots+f(1/n)=f(1/n+\cdots+1/n)=f(1)=1 $$ así que $f(1/n)=1/n$ lo que no tiene ningún sentido si $n>1$ ya que $f(1/n)\in\mathbb{Z}$ . Así que no hay tal $f$ existe. ¿Es todo lo que hay que hacer?

Answer 1

Sí. Eso es bueno. Básicamente estás observando que $\text{Hom}(\mathbb{Q},\mathbb{Z})=\{0\}$ y por lo tanto es evidente que no puedes tener una retractación.

También se puede observar que si se divide entonces $\mathbb{Q}\cong \mathbb{Z}\oplus(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ pero $\mathbb{Q}$ no tiene torsión :)

Answer 2

Sí; este es el lema de la extensión, y se mantiene en las categorías abelianas:

http://en.wikipedia.org/wiki/Splitting_lemma